Hallo,
Der Ansatz für die Aufgabe 2 könnte sein$$a_n=f(n) \cdot \lambda^n$$Und wenn man für \(f(n)=c_0+c_1n\) setzt, kann man beide Parameter \(c_0\) und \(c_1\) getrennt betrachten. Für \(c_0\) ergibt sich die quadratische Gleichung, die Du oben angeschrieben hast$$f(n)\lambda^{n} =6f(n-1)\lambda^{n-1} -9f(n-2)\lambda^{n-2}\\ f(n)=c_0 \\\implies \lambda^2=6\lambda - 9 \implies \lambda_{1,2}=3$$Setzt man nun \(f(n)=c_1n\) ein ... (\(\lambda=3\))$$\begin{aligned}c_1n \lambda^{n} &= 6c_1(n-1) \lambda^{n-1} - 9c_1(n-2)\lambda^{n-2}&&|\,\div c_1\lambda^{n-2}\\ 3^2n &= 3\cdot 6(n-1) -9(n-2)&&|\,\div 9\\ n &= 2(n-1) -(n-2) \\ n&=n \space \checkmark\end{aligned}$$... so sieht man, dass dies immer erfüllt ist. Und mit Vorgabe von \(a_0=1\) und \(a_1=6\) lassen sich die beiden Parameter berechnen$$a_n=3^n(c_0+c_1n)\\ a_0 = c_0 =1 \\ a_1 = 3(c_0+c_1) =6 \implies c_1=1$$Also lautet die explizite Form$$a_n=3^n(n+1)$$
3. Lösen Sie \( a_{n}=-4 a_{n-2}, \space n \geq 2 \), mit \( a_{0}=0, a_{1}=4 \).
schreib mal ein paar Elemente hin:$$a_n=\in\{0,\,4,\,0,\,-\!16,\,0,\,64,\,0,\,-\!256,\,0,\dots\}$$Es fällt natürlich sofort auf, dass$$|a_n|=\begin{cases}0&&2\mid n\\ 2^{n+1}&& 2\nmid n\end{cases}$$Zum einen alterniert die Folge zwischen 0 und einem Wert und der Wert wechselt immer das Vorzeichen. Ersteres bekommt man mit diesem Term hin$$b_n = \frac12(1+(-1)^{n+1})\\\implies b_0=0,\quad b_1=1,\quad b_2=0,\quad b_3=1,\quad b_4=0, \space\dots$$und für den Vorzeichenwechsel alle 2 Elemente taugt$$v_n = (-1)^{\lfloor n/2\rfloor}\\\implies v_1=1,\quad v_3=-1,\quad v_5=1,\quad v_7-1$$alles zusammen bauen gibt$$a_n = b_n\cdot v_n\cdot 2^{n+1}\\\phantom{a_n}= \frac12(1+(-1)^{n+1})(-1)^{\lfloor n/2\rfloor}2^{n+1}\\\phantom{a_n}= (1+(-1)^{n+1})(-1)^{\lfloor n/2\rfloor}2^{n}$$Gruß Werner
