Bestimmen Sie alle Elemente des Rings und überprüfen Sie, dass K ein Körper ist

Question

Aufgabe:

Sei F2 der Körper mit den zwei Elementen 0 und 1. Bestimmen Sie alle Elemente des Rings

K = F2[x]/(x^2 + x + 1)

und seine Additions- und Multiplikationstabelle. Überprüfen Sie, dass K ein Körper ist

Answer 1

Die Elemente sind 0, 1 , x, x+1

Denn alle weiteren Elemente von F2[x] unterschieden sich von diesen nur

durch Vielfache von x^2 + x + 1 z.B.  x^2 = x+1 weil (x+1) + (x^2 +x+1) = x^2

Tabellen :

+          0       1       x      x+1      
0          0       1        x      x+1     
1          1      0       x+1     x            
x         x    x+1      0        1     
x+1     x+1    x       1        0

*          0      1      x     x+1     
0          0     0      0        0  
1          0      1      x     x+1         
x         0     x      x+1     1   
x+1      0    x+1      1        x

Körper, weil jedes von 0 verschiedene

Element ein multiplikatives Inverses hat.