Monotonie und Beschränktheit bei Folgen

Question 1

ich soll die angegebenen Folgen (a_n)_{n ∈ ℕ} , (b_n)_{n ∈ ℕ} auf Monotonie und Beschränktheit untersuchen.
1.
a_n = (2/(3+n^2))

2.
b_n = ((1-n^2)/(1+n))

Zum ersten hab ich folgende Ansätze:

(a_n)_{n ∈ ℕ} ist nicht nach unten beschränkt, da ∀n ∈ ℕ: a_n > 0

(a_n)_n _{∈ ℕ} ist streng Monoton fallend, ( hier weiß ich nicht genau wie ich das beweisen soll)

kann mir da jemand helfen?
Danke!

Question 2

zur Monotonie nun mein Ansatz :

n > m => (2/(3+n^2)) < (2/(3+m^2))

deswegen streng monoton fallend

Question 3

(a_n)_{n ∈ ℕ} ist nicht nach unten beschränkt, da ∀n ∈ ℕ: an > 0

Nein, nein. Das heißt doch gerade: 0 ist untere Schranke,

also ist die Folge nach unten beschränkt !

monoton fallend, kann du zeigen durch

a_n+1 ≤ a_n für alle n∈ℕ, also

2/(3+(n+1)^2) ≤ 2/(3+n^2) Kehrwerte !

<=> (3+(n+1)^2) / 2 ≥ (3+n^2) / 2 |*2

<=> 3+(n+1)^2 ≥ 3+n^2 |-3

<=> (n+1)^2 ≥ n^2 und das stimmt für alle n∈ℕ.

Und wenn es monoton fallend ist, ist das 1. Folgenglied

eine obere Schranke.

Question 4

also ist es monoton fallend und beschränkt

Question 5

Genau so ist es !

Question 6

2. Ist das die korrekte Angabe? n^1 kommt mir seltsam vor.

Soll es vlt. n^2 lauten? -> 3. binomische Formel und kürzen

Question 7

ja genau n^2 tut mir leid hatte mich vertippt

Edit (Lu): geändert zu n^2

Question 8

wie wende ich da die dritte binomische formel an?

Question 9

1-n² kannst du auch schreiben als 1²-n².

Siehst du jetzt eine Anwendungsmöglichkeit der 3. bin. Formel?

Question 10

ich versuch es jetzt mal

Question 11

Aber das hoch 2 ist ja nicht hinter der klammer sondern nur bei dem n, wieso darf ich dann die 1 auch quadrieren?

Question 12

AH vergessen sie meine frage, ich bin dumm.

Question 13

ja habs versucht aber keine ahnung, tut mir leid

Question 14

also ist bei 2. b_n streng monoton fallend und nach unten beschränkt?

Question 15

n^2-1 = (n+1)(n-1)

-> (n+1)*(n-1)/(n+1) = n -1

Was heißt das für die Folge?

Question 16

mit größer werdenden n wird die Zahl größer? Also streng monoton steigend?

Question 17

Sorry, ich hatte einen Dreher drin:

(1-n)*(1+n)/(1+n ) = 1-n

-> lim (x->oo) = -oo , also streng monoton fallend

Question 18

ah also doch, okay alles klar danke habe es verstanden!

Question 19

also ist es nur nach unten beschränkt und streng monoton fallend?

Question 20

Sie ist nach oben beschränkt, nach unten geht sie gg. -oo

Question 21

Achso weil es gegen - unendlich läuft kann es ja nicht nach unten beschränkt sein, und da es streng monoton fällt ist es nach oben beschränkt?

mathef · Answer 1 · 2022-01-06T16:04:13+0000