Berechnen Sie die Basiswechselmatrix

Question

Aufgabe:

Im ℝ³ seien die Basen X = ((1, −1, 2),(2, 3, 7),(2, 3, 6)) und Y = ((1, 2, −1),(−2, −5, 2),(3, 10, −2))
gegeben.  Berechnen Sie die Basiswechselmatrix A_id,X,Y .

Es wäre sehr lieb, wenn mir jemand helfen könnte.

Answer 1

Aloha :)

Die Koordinaten der Basisvektoren sind alle bezüglich der Standardbasis \(S\) der \(\mathbb R^3\) angegeben. Daher kennen wir die Basiswechselmatrizen der Identität von \(X\) bzw. von \(Y\) in die Standardbasis \(S\):

$${_S}\mathbf{id}_X=\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 2\\-1 & 3 & 3\\2 & 7 & 6\end{array}\right)\quad;\quad{_S}\mathbf{id}_Y=\left(\begin{array}{rrr}1 & -2 & 3\\2 & -5 & 10\\-1 & 2 & -2\end{array}\right)$$

Damit lautet die Basiswechselmatrix der Identität von \(Y\) nach \(X\):$${_X}\mathbf{id}_Y={_X}\mathbf{id}_S\cdot{_S}\mathbf{id}_Y=\left({_S}\mathbf{id}_X\right)^{-1}\cdot{_S}\mathbf{id}_Y$$$$\phantom{{_Y}\mathbf{id}_X}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 2\\-1 & 3 & 3\\2 & 7 & 6\end{array}\right)^{-1}\cdot\left(\begin{array}{rrr}1 & -2 & 3\\2 & -5 & 10\\-1 & 2 & -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}-0,2 & 0,8 & -2,2\\-4,2 & 8,8 & -13,2\\4,8 & -10,2 & 15,8\end{array}\right)$$