Bestimmen Sie eine Basis B von Q^{3} / U .

Question

Aufgabe:

Im Vektorraum \( Q^{3} \) sei der Untervektorraum

\( U=\left[\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)\right] \)

gegeben, womit der Faktorraum \( Q^{3} / U \) gebildet werde.

a) Geben Sie für die Vektoren
\( x=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right), y=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 8 \\ 15 \end{array}\right) \)

die Äquivalenzklassen \( \tilde{x}, \tilde{y} \) und \( \widetilde{3 x+y} \) an.

b) Bestimmen Sie eine Basis \( B \) von \( Q^{3} / U \).

c) Stellen Sie die Vektoren
\( \widetilde{\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)}, \widetilde{\left(\begin{array}{c} 0 \\ 8 \\ 15 \end{array}\right)} \in \mathbf{Q}^{3} / U \)

bezüglich der Basis \( B \) dar. Sind diese beiden Vektoren linear unabhängig?

Problem:

Wie löse ich diese Aufgabe?

Answer 1

a)
\(\bar{x}=x+U\)  \(=\{(1,2,3)^T+r\cdot (1,1,1)^T\; : \; r\in Q\}\),
\(\bar{y}=y+U\)  \(=\{(0,8,15)^T+r\cdot (1,1,1)^T\; : \; r\in Q\}\),
\(\overline{3x+y}=3\bar{x}+\bar{y}\) \(=\{(1,10,18)^T+r\cdot (1,1,1)^T\; : \; r\in Q\}\)

b)
\(\bar{x},\bar{y}\) sind linear unabhängig in \(Q^3/U\),
bilden also wegen \(\dim(Q^3/U)=3-1=2\) eine Basis; denn:

\(a\bar{x}+b\bar{y}=\bar{0}=U\) bedeutet

\(ax+U+by+U=ax+by+U=U\),

also \(ax+by=-c(1,1,1)^T\quad (*) \).

Wir müssen \(a=b=c=0\) herausbekommen.

Die Koeffizientenmatrix zu \((*)\) ist$$\left(\begin{array}{ccc}1&0&1\\2&8&1\\3&15&1\end{array}\right).$$Der Rang dieser Matrix ist 3, also hat \((*)\)

nur die triviale Lösung.

c)

Bezüglich der Basis \(\bar{x},\bar{y}\) sind die Koordinatenvektoren

von \(\bar{x},\bar{y}\) natürlich trivialerweise \((1,0)^T,(0,1)^T\)

Answer 2

a) Geben Sie für die Vektoren

\( x=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right), y=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 8 \\ 15 \end{array}\right) \)

die Äquivalenzklassen \( \tilde{x}, \tilde{y} \) und \( \widetilde{3 x+y} \) an.

\( \tilde{x} = \left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)\)

\( \tilde{y} = \left(\begin{array}{l} 0 \\ 8 \\ 15 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)\)

\( \widetilde{3x+y} = \left(\begin{array}{l} 3 \\ 14 \\ 24 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)\)