Bweisen Sie, dass M offen und N abgeschlossen ist

Question

Aufgabe:

Seien \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) stetig und \( b \in \mathbb{R} \) gegeben. Sei

M = {x ∈ R : f(x) > b} ,

N = {x ∈ R : f(x) = b}

Beweisen Sie, dass M offen und N abgeschlossen ist.

Answer 1

Eine Abbildung ist genau dann stetig, wenn das Urbild jeder
offenen Menge offen ist.

Es ist \(M=f^{-1}((b,\infty))\), also das Urbild eines offenen Intervalls,
und daher offen.

Indem man zu den Komplementen übergeht, sieht man:
Bei einer stetigen Abbildung ist das Urbild jeder
abgeschlossenen Menge abgeschlossen.

Es ist \(N=f^{-1}(\{b\})\), also das Urbild einer einelmentigen
Menge, die bekanntermaßen abgeschlossen ist.
Also ist \(N\) selbst abgeschlossen.