Aufgabe:
Seien \( X_{1}, \ldots, X_{n}, n \in \mathbb{N} \), unabhängig und identisch verteilt mit \( X_{1} \sim \operatorname{Exp}(\lambda) \) und \( \lambda>0 \) sei der unbekannte zu schätzende Parameter. Das heißt, \( X_{1} \) hat die Dichte \( f_{\lambda}(x)=\lambda e^{-\lambda x} 1_{\{x>0\}} \). Weiterhin seien \( X_{(1)}:=\min \left\{X_{1}, \ldots, X_{n}\right\} \) das Minimum der Daten und \( \alpha \in(0,1) . \)
Zeigen Sie, dass
\( K:=\left[-\frac{\ln \left(1-\frac{\alpha}{2}\right)}{n X_{(1)}},-\frac{\ln \left(\frac{\alpha}{2}\right)}{n X_{(1)}}\right] \)
ein Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau \( 1-\alpha \) für \( \lambda \) ist.
