Wir betrachten die folgenden geordneten Mengen von Vektoren im \( \mathbb{R}^{3} \).
\( \begin{array}{l} B_{1}=\left(\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 2 \\ 0 \\ 6 \end{array}\right)\right), B_{2}=\left(\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ -2 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} -2 \\ 6 \\ 5 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 4 \\ -6 \\ -4 \end{array}\right)\right), \\ B_{3}=\left(\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 5 \\ 3 \\ 4 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right)\right), B_{4}=\left(\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 8 \\ 7 \\ 3 \end{array}\right)\right) . \end{array} \)
Listen Sie diejenigen Mengen auf, die
a) eine Basis des \( \mathbb{R}^{3} \) bilden. Antwort:
b) durch zusätzliche Vektoren zu einer Basis ergänzt werden können. Antwort:
c) eine Basis als echte Teilmenge enthalten. Antwort:
Hinweis zur Formatierung: Schreiben Sie B j für \( B_{j} \), trennen Sie die einzelnen B's durch Kommata, verwenden Sie keine Leerzeichen und ordnen Sie die B's in den Listen nach aufsteigendem Index an ("B_1,B_3" ist korrekt formatiert, "B_3,B_1" nicht). Erfült keines der \( B_{j} \) die Anforderung, tragen Sie "-" ein.
......
Wir betrachten nun die geordnete Basis
\( C=\left(\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right)\right) \)
des \( \mathbb{R}^{3} \). Bestimmen Sie die Darstellungsvektoren \( \kappa_{C}\left(\left(\begin{array}{c}3 \\ 7 \\ 11\end{array}\right)\right) \) und \( \kappa_{C}\left(\left(\begin{array}{c}2 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)\right) \) sowie die Übergangsmatrix \( P_{C}^{B_{i}} \) von demjenigen \( B_{i} \), das eine Basis ist, nach
\( C \).
\( \begin{array}{l} \kappa_{C}\left(\left(\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ 11 \end{array}\right)\right)=\square \\ \kappa_{C}\left(\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right)\right)=\square \\ P_{C}^{B_{i}}=\square \end{array} \)
Beispiel zur Formatierung: Den Vektor \( \left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right) \) trägt man als "(xx|y|z)" ins Antwortfeld ein, die Matrix \( \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right) \) als
"(1,0,-1॥1,1,0॥1,0,1)". Zeileneinträge werden also mit Kommata getrennt, Zeilen mit "1" und es soll auf Leerzeichen verzichtet werden.
