Beweise den binomischen Lehrsatz

Question

Aufgabe:

Für \( k, n \in \mathbb{N}_{0} \) mit \( k \leq n \) definieren wir die Fakultät \( n ! \) durch \( n !:=\prod \limits_{i=1}^{n} i \) und den Binomialkoeffizienten \( \left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) \) durch \( \left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right):=\frac{n !}{k !(n-k) !} \).

(b) Beweise den binomischen Lehrsatz:
\( \forall a, b \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}_{0}:(a+b)^{n}=\sum \limits_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) a^{n-k} b^{k} . \)

Answer 1

Verwende die vollständige Induktion.

Answer 2

Aloha :)

Kennst du die wirkliche Bedeutung des Binomialkoeffizienten? \(\binom{n}{k}\) ist die Anzahl der Möglichkeiten, aus \(n\) Objekten genau \(k\) auszuwählen. Damit ist der binomische Lehrsatz sofort klar...$$(a+b)^n=\underbrace{(a+b)\cdot(a+b)\cdot(a+b)\cdots(a+b)}_{=\text{\(n\) Faktoren}}$$

Wenn du das ausrechnen möchtest, musst du für die Anwendung des Distributivgesetzes aus jeder der \(n\) Klammern entweder ein \(a\) oder ein \(b\) auswählen. So lange, bis alle Möglichkeiten gewählt wurden. Wir schauen uns an, welche Möglichkeiten es dazu gibt.

Es gibt genau \(\binom{n}{0}=1\) Möglichkeit, um \(0\)-mal \(b\) und \(n\)-mal \(a\) auszuwählen. Das liefert den Beitrag \(\binom{n}{0}\cdot a^nb^0\).

Es gibt \(\binom{n}{1}=n\) Möglichkeiten, um \(1\)-mal \(b\) und \((n-1)\)-mal \(a\) auszuwählen. Das liefert den Beitrag \(\binom{n}{1}a^{n-1}b^1\).

Es gibt \(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\) Möglichkeiten, um \(2\)-mal \(b\) und \((n-2)\)-mal \(a\) auszuwählen. Das liefert den Beitrag \(\binom{n}{2}a^{n-2}b^2\).

Das geht so weiter bis zu \(\binom{n}{n}=1\) Möglichkeit, um \(0\)-mal \(b\) und \(n\)-mal \(a\) auszuwählen. Das liefert den Beitrag \(\binom{n}{n}a^0b^n\).

Wenn man alle diese Beiträge summiert, folgt der binomische Lehrsatz:$$(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$$