Aufgabe:
$$(1+\frac{1}{n})^{n}\lt(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}$$ mithilfe binomischem Lehrsatz zeigen.
Problem/Ansatz:
Hi, ich bin mir nicht ganz sicher wie ich hier vorgehen soll.
Nach umschreiben mit dem Binomischen Lehrsatz:
$$\sum \limits_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}\cdot\frac{1}{n}^k \lt\sum \limits_{k=0}^{n+1}\begin{pmatrix} n+1\\k \end{pmatrix}\cdot\frac{1}{n+1}^k$$
fällt mir kein sinnvoller Umformungsschritt ein, um die Ungleichung zu beweisen.
Mein Ansatz war, im rechten teil den + 1 Teil von der n zu trennen, um mich dem linken Teil anzunähern. Doch da man dabei immer abhängig von k ist lässt sich nichts aus der Summe nehmen bzw. kürzen.
Ansatz:$$\sum \limits_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}\cdot\frac{1}{n}^k \lt (\sum \limits_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}\cdot\frac{1}{n}^k\cdot\frac{1}{n-k+1}\cdot\frac{n}{n+1}^k)+1$$
