Binomischen Lehrsatz beweisen oder widerlegen, mit -1 hoch k

Question

Aufgabe:

Für n ∈ ℕ gerade:\( \sum\limits_{k=0}^{n}{} \) \( \begin{pmatrix} n\\k\\ \end{pmatrix} \) (-1)^k * 7^k 2^n-k = \( \sum\limits_{k=0}^{n}{} \) \( \begin{pmatrix} n\\k\\ \end{pmatrix} \) 3^k 2^n-k

Problem/Ansatz:

Was mache ich mit dem -1 hoch k auf der linken Seite?

Comments

(-1) * 7  =  -7  und (-5)^(2m) = 5^(2m)

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Aber ich kanns doch nicht zusammenfassen, da die -1 auch ein hoch k hat. Dann wird das doch k + k = 2k oder nicht?

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Oder kann ich die Linke Seite dann aufziehen mit zweimal dem Summenzeichen mit jeweils einmal hoch k, und die summenzeichen dann addieren? also zweimal den bin. lehrsatz anwenden?

Answer 1

Die Aufgabe basiert auf

\((7-2)^n=(3+2)^n\).

Und da \(n\) gerade ist, haben \(k\) und \(n-k\) dieselbe Parität.

Answer 2

Hallo

(-1)^k*7^k=(-7)^k   wenn du (-1)^1*7^1 multiplizierst kommt da irgendwo 1+1=2 vor?

also das Binom von (-7+2)

Gruß lul

Comments

Versteh ich nicht so ganz. Bei dieser Aufgabe kann k doch alles sein. Also würde da -7^2k stehen, oder nicht?

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Hallo

nein a^n*b^n=(ab)^n du verwechselst das mit a^n*a^n==(a*a)^n=a^2n

lul

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ja stimmt, dankeschön!