Aufgabe:
Für ein festes \( n \in \mathbb{N} \) werde eine faire Münze \( n \)-mal nacheinander geworfen. Seien \( X_{1}, \ldots, X_{n} \) Zufallsvariable, die nur die Werte 0 und 1 annehmen, wobei für \( i=1, \ldots, n \) die Zufallsvariable \( X_{i} \) genau dann den Wert 1 annimmt, wenn der \( i \)-te Wurf das Ergebnis ,,Zahl“ liefert.
(i) Wählen Sie einen geeigneten W-Raum \( (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) \) zur Modellierung dieses Zufallsexperiments, definieren Sie \( X_{1}, \ldots, X_{n} \) als Abbildungen von \( \Omega \) nach \( \mathbb{N}_{0} \) und geben Sie die Verteilungen der einzelnen Zufallsvariablen \( X_{1}, \ldots, X_{n} \) an.
(ii) Zeigen Sie, dass die Zufallsvariablen \( X_{1}, \ldots, X_{n} \) unabhängig sind.
(iii) Bestimmen Sie die Verteilung und den Erwartungswert der Zufallsvariablen \( S_{n}:=\sum \limits_{i=1}^{n} X_{i} \).
