Aloha :)
Wir betrachten die Funktion$$F(x;y)=8x^2+10xy+11y^2$$
zu b) Wir fangen mit Teil b) an, weil a) und c) zusammengehören. Da das Niveau beibehalten werden soll, muss gelten:$$\left.F(1+\Delta x\,;\,2,25)\stackrel!=F(1;2)=72\quad\right|\text{Funktionsterm einsetzen}$$$$\left.8(1+\Delta x)^2+10(1+\Delta x)\cdot2,25+11\cdot2,25^2=72\quad\right|\text{Klammern auflösen}$$$$\left.8+16\Delta x+8(\Delta x)^2+10\cdot2,25+10\cdot2,25\Delta x+11\cdot2,25^2=72\quad\right|\text{zusammenfassen}$$$$\left.8(\Delta x)^2+38,5\Delta x+86,1875=72\quad\right|-72$$$$\left.8(\Delta x)^2+38,5\Delta x+14,1875=0\quad\right|\colon8$$$$\left.(\Delta x)^2+\frac{77}{16}\,\Delta x+\frac{227}{128}=0\quad\right|\text{pq-Formel}$$$$\Delta x=-\frac{77}{32}\pm\sqrt{\left(\frac{77}{32}\right)^2-\frac{227}{128}}=-\frac{77}{32}\pm\sqrt{\frac{5929}{1024}-\frac{1816}{1024}}=-\frac{-77\pm\sqrt{4113}}{32}$$Offensichtlich gibt es zwei mögliche Lösungen für die Änderung \(\Delta x\) von \(x\), sodass der Funktionswert von \(F\) gleich bleibt:$$\boxed{\Delta x_1\approx-0,402104}\quad;\quad\Delta x_2\approx-4,410396$$Die zweite Lösung \(\Delta x_2\) scheidet jedoch aus, weil \(x=1\) ist und damit der neue \(x\)-Wert \((x+\Delta x_2)\) negativ wäre.
zu a) Da sich der Funktionswert \(F(x;y)\) bei einer Änderung von \(x\) um \(dx\) bzw. von \(y\) um \(dy\) nicht ändern soll, muss das totale Differential gleich \(0\) sein:$$0\stackrel!=dF(x;y)=\frac{\partial F}{\partial x}\,dx+\frac{\partial F}{\partial y}\,dy=(16x+10y)\,dx+(10x+22y)\,dy$$Speziell im Punkt \(a=(1;2)\) heißt das:$$0=36\,dx+54\,dy\quad\implies\quad dx=-\frac{54}{36}\,dy=-\frac{3}{2}\,dy$$Wenn sich \(y\) also um eine marginale Einheit ändert, ändert sich \(x\) um \(-1,5\) marginale Einheiten.
zu c) Hier brauchst du nur \(dy=0,25\) einzusetzen:$$dx=-\frac{3}{2}\cdot0,25=-\frac{3}{2}\cdot\frac14=-\frac38=-0,375$$
