Bei welcher Menge von x1 werden bei einem Output von 6504 ME die Kosten minimal?

Question

Die Produktionsfunktion eines Unternehmens lautet

F(x1,x2)=9x1^2+79x1x2+9x2^2

wobei x1 und x2 die eingesetzten Mengen der beiden Produktionsfaktoren A und
B bezeichnen. Die Kosten der Produktionsfaktoren betragen pro Mengeneinheit 77 bzw. 68 Geldeinheiten. Vom Endprodukt sollen 6504 Mengeneinheiten gefertigt werden. Für die Produktionskosten in Abhängigkeit von den eingesetzten Mengen der beiden Produktionsfaktoren A und B existiert unter dieser Nebenbedingung im ersten Quadranten genau eine lokale Extremstelle. Ermitteln Sie die folgenden Größen:

a. Bei welcher Menge von x1 werden bei einem Output von 6504 ME die Kosten minimal?
b. Bei welcher Menge von x2 werden bei einem Output von 6504 ME die Kosten minimal?
c. Welchen Wert hat der Lagrange-Multiplikator λ im Kostenminimum?
d. Wie lautet das kostenminimale Faktoreinsatzverhältnis der beiden Produktionsfaktoren x1 und x2?
e. Wie hoch sind die Produktionskosten C(x1,x2) im Optimum?

Kann mir hier jemand weiterhelfen? Wäre sehr dankbar.

Answer 1

L(x1,x2,λ) = 77x1 + 68x2 + λ * (9x1²+79x1x2+9x2²-6504)

==>  L_x1 = 77 +  λ * (18x1+79x2)

      L_x2 = 68 +  λ * (79x1+18x2)

Beides =0 gesetzt und λ eliminiert gibt x1=3986x2 / 4859

Einsetzen in 9x1^2+79x1x2+9x2^2=6504

gibt (da x2 positiv )    x2 = 9,02

also x1=7,40

Comments

Vielen Dank, können Sie mir noch erklären wie man auf die Produktionskosten im Optimum kommt?

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hat sich erledigt, habs rausbekommen :)