Zeigen Sie mithilfe der Dimensionsformel, dass ...

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie \( \operatorname{dim}_{\mathbb{K}}\left(U_{1}+U_{2}+U_{3}\right) \leq \operatorname{dim}_{\mathbb{K}}\left(U_{1}\right)+\operatorname{dim}_{\mathbb{K}}\left(U_{2}\right)+\operatorname{dim}_{\mathbb{K}}\left(U_{3}\right) \).

Hab leider kein Plan wie ich es mache...

Answer 1

Du kennst sicher die Dim-Formel

dim(A+B) = dim(A) + dim(B) - dim ( A∩B)

Die wendest du (wie empfohlen) an:

dim( A+B+C) = dim ( (A+B) + C)

= dim (A+B) + dim (C) - dim ( (A+B)∩C)

=  dim(A) + dim(B) - dim ( A∩B) + dim (C) - dim ( (A+B)∩C)

=  dim(A) + dim(B) + dim(C) - dim ( A∩B)  - dim ( (A+B)∩C)

Dimensionen sind nie negativ, also wird der Term durch das Weglassen

der letzten beiden nicht kleiner, also gilt

≤  dim(A) + dim(B) + dim(C)