Beweisen oder Wiederlegen mit hilfe der Dimensionsformel

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

13.1 Sei \( V \) ein \( \mathbb{K} \)-Vektorraum mit \( \operatorname{dim}(V)=7 \) und \( U, W \leq V \). Beweisen oder widerlegen Sie:
a) Falls \( \operatorname{dim}(U)+\operatorname{dim}(W)>7 \), so gilt \( \operatorname{dim}(U \cap W)>1 \)
b) Wenn \( U+W=V \), so ist \( \operatorname{dim}(U)+\operatorname{dim}(W)=7 \)
c) Wenn \( \operatorname{dim}(U+W)=7 \), so ist \( U+W=V \)
d) Sei \( \operatorname{dim}(U)=2 \) und \( \operatorname{dim}(W)=4 \), so ist \( 2 \leq \operatorname{dim}(U+W) \leq 6 \)
e) Es existieren \( U, W \) mit \( \operatorname{dim}(U)=2 \) und \( \operatorname{dim}(W)=4 \), so dass \( \operatorname{dim}(U+W)=5 \)
f) Es existieren \( U, W \) mit \( \operatorname{dim}(U)=2 \) und \( \operatorname{dim}(W)=4 \), so dass \( \operatorname{dim}(U+W)=3 \) \( (1+1+1+1+1+1 \) Punkte \( ) \)

Problem/Ansatz:

Bei A bin ich mir noch sehr unschlüssig ob es wahr oder falsch ist. Ich bin mir sicher , dass die Summe auf alle Fälle größer als 7 sein kann aber ob der Schnitt dann größer als 1 ist bin ich mir nicht sicher bzw weiß nicht wie ich es zeigen kann, wenn es so ist. Kann man mir dabei helfen ?

Text erkannt:

b) Wenn \( u+w=v \), so ks \( \operatorname{dim}(u)^{+} \operatorname{dim}(w)=7 \), ist wahe, denn:
() \( w \) enn \( u+w=v \) ist \( \operatorname{dim}(u+w)=\operatorname{dim}(v) \) also \( \operatorname{dim}(u+w)=7 \)
\( \Rightarrow \) Nach Salz 2.2.12. ist dann \( 7=\operatorname{dim}(u)+\operatorname{dim}(\omega)-\operatorname{dim}(u \cap \omega) \Rightarrow \operatorname{dim}(u)+\operatorname{dim}(\omega)=7-\operatorname{dim}(u \cap \omega) \)
Danit dies Gceichung gilt mun \( \operatorname{dim}(u \cap w)=0 \) also \( u \cap w=\{0\} \)
da \( u+w=v \) gitt dan \( u \cap w=\{0\} \) somit ist also \( \operatorname{dim}(u)+\operatorname{dim}(\omega)=7-0=7 \)
c) wenn \( \operatorname{dum}(u+w)=7,95 \) is \( u+w \cdot v \) ist wahe deun:
(5) Nacle Salz 2.2. i2 ist \( \operatorname{dim}(u)+\operatorname{dim}(w)-\operatorname{dim}(u \cap w)-7, d a \operatorname{dim}(u+w)=7 \)
\( \Rightarrow \) demnach \( \operatorname{dim}(u)+\operatorname{dim}(\omega)=7+\operatorname{dim}(u \cap \omega) \)
\( \Rightarrow \) Da \( \operatorname{dim}(u)+\operatorname{dim}(w) \leq \operatorname{dim}(v)=7 \) folgt dan \( \operatorname{dim}(u \cap w)=0 \)
und somit \( u \cap w=\{0\} \), d.h. \( u \) und \( w \sin \alpha \) C.u. und somit eive Basis von \( V \), also \( u+w=V \)
d) \( \operatorname{sei} \operatorname{dim}(u)=2 \) und \( \operatorname{dum}(\omega)=4 \), so ist \( 2 \leq \operatorname{dim}(u+w) \leq 6 \)
wach salz 2.2.12 ist \( \operatorname{dim}(u)+\operatorname{dim}(\omega)-\operatorname{dim}(u \cap \omega)=\operatorname{dim}(u+\omega), \operatorname{da} \operatorname{dim}(u)=2 \) und \( \operatorname{dim}(\omega)=4 \) \( \Rightarrow \quad \frac{2+u}{6}-\operatorname{dim}(u \cap \omega)=\operatorname{dim}(u+\omega), \operatorname{dadim}(u \cap \omega) \geq 0 \) folgr \( \operatorname{dim}(u+w) \leq 6 \)
und da \( \operatorname{dim}(u \cap w) \) aber \( \max 4 \) ist \( (d a \operatorname{dim}(w)=2) \) ist \( \operatorname{dim} 2 \leq \operatorname{dim}(u+w) \leq 6 \)

Für b, c und d habe ich entschieden, dass es wahr ist und dies wie auf dem Bild bewiesen, ist das aber so richtig?

Und für e bin ich der Meinung es ist wahr und für f denke ich ist es falsch aber hier habe ich auch nicht wirklich eine Idee, wie ich es erklären kann. Kann mir hier auch noch jemand helfen?

Comments

Da ich leider nicht weiß wie ich meinen Post bearbeiten kann, habe ich hier das Bild nochmal als Text zusammengefasst (also meinen Lösungsansatz)

Kleine Ergänzung dazu Satz 2.2.12 ist die Dimensionsformel also d.h.: Sei V K-VR mit dim(V) ist endlich und u₁, u₂  ≤ V dann gilt

dim(U₁+U₂)=dim(U₁)+dim(U₂)-dim(U₁∩U₂)

b) Wenn \( u+w=v \), so ist \( \operatorname{dim}(u) {+} \operatorname{dim}(w)=7 \), ist wahr, denn:
wenn \( u+w=v \) ist \( \operatorname{dim}(u+w)=\operatorname{dim}(v) \) also \( \operatorname{dim}(u+w)=7 \)
\( \Rightarrow \) Nach Satz 2.2.12. ist dann \( 7=\operatorname{dim}(u)+\operatorname{dim}(\omega)-\operatorname{dim}(u \cap \omega) \Rightarrow \operatorname{dim}(u)+\operatorname{dim}(\omega)=7-\operatorname{dim}(u \cap \omega) \)
Damit diese Gleichung gilt muss \( \operatorname{dim}(u \cap w)=0 \) also \( u \cap w=\{0\} \)
da \( u+w=v \) gilt ist \( u \cap w=\{0\} \) somit ist also \( \operatorname{dim}(u)+\operatorname{dim}(\omega)=7-0=7 \)
c) wenn \( \operatorname{dim}(u+w)=7 \) so ist \( u+w=v \) ist wahr denn:
Nach Satz 2.2. 12 ist \( \operatorname{dim}(u)+\operatorname{dim}(w)-\operatorname{dim}(u \cap w)=7, da \operatorname{dim}(u+w)=7 \)
\( \Rightarrow \) demnach \( \operatorname{dim}(u)+\operatorname{dim}(\omega)=7+\operatorname{dim}(u \cap \omega) \)
\( \Rightarrow \) Da \( \operatorname{dim}(u)+\operatorname{dim}(w) \leq \operatorname{dim}(v)=7 \) folgt dass \( \operatorname{dim}(u \cap w)=0 \)
und somit \( u \cap w=\{0\} \), d.h. \( u \) und \( w \sin \alpha \) linear unabhängig und somit eine Basis von \( V \), also \( u+w=V \)
d) \( \operatorname{sei} \operatorname{dim}(u)=2 \) und \( \operatorname{dum}(\omega)=4 \), so ist \( 2 \leq \operatorname{dim}(u+w) \leq 6 \)
Nach satz 2.2.12 ist \( \operatorname{dim}(u)+\operatorname{dim}(\omega)-\operatorname{dim}(u \cap \omega)=\operatorname{dim}(u+\omega), \operatorname{da} \operatorname{dim}(u)=2 \) und \( \operatorname{dim}(\omega)=4 \) also ist \(6-\operatorname{dim}(u \cap \omega)=\operatorname{dim}(u+\omega),da \operatorname{dim}(u \cap \omega) \geq 0 \) folgt \( \operatorname{dim}(u+w) \leq 6 \)
und da \( \operatorname{dim}(u \cap w) \) aber \( \max 4 \) ist \( (d a \operatorname{dim}(w)=4) \) ist \( \operatorname{dim} 2 \leq \operatorname{dim}(u+w) \leq 6 \)

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Die Meldung ergibt auch keinen Sinn. 1. lassen sich Rechnungen so viel besser lesen, weil kaum jemand das vernünftig und leserlich tippen kann. Das schaffen ja nicht mal die Helfer hier. Und 2. liefert die Texterkennung doch schon einiges.

Answer 1

a) Man hat U+W⊆V, aber dann jedenfalls

dim(U+W)≤7 und damit kannst du entsprechend b) argumentieren.