Question

Berechnen Sie nachvollziehbar die folgende geometrische Reihe exakt in Bruchdarstellung:

$$ ( 1024 ) ^ { 4 } * \sum _ { n = 60 } ^ { \infty } \frac { \sqrt { 2 } ^ { 4 n - 4 } } { 2 ^ { * } 8 ^ { n - 1 } } $$

Ich habe keine Ahnung, wie das nur ansatzweise zu lösen ist.

Answer 1

Du kannst alles, was nicht 'hoch n' ist vor das Summenzeichen schreiben und dann mit Potenzgesetzen dafür sorgen, dass du in der Summation nur noch einen 'einfachen' Term hoch n hast.

Auf so eine Summe kannst du die Formel für geometrische Reihe anwenden und z. B. die Unendliche Summe minus die Summe der ersten 59 Summanden berechnen.

Ich hoffe, das hilft als Anleitung. 

Vielleicht erreiche ich in den nächsten Minuten noch, dass bei den ähnlichen Fragen auch 'ähnliche' erscheinen.;-)

Ohne Gewähr. Eingabe wurde völlig unübersichtlich. Ausserdem unbedingt bei der Formel für geometrische Reihe den Exponenten nachprüfen.

$$ \sum _{ n=60 }^{ \infty  }{ \frac { { \sqrt { 2 }  }^{ 4n-4 } }{ 2*{ 8 }^{ n } }  } =\quad \sum _{ n=60 }^{ \infty  }{ \frac { { ({ 2 }^{ 0.5 }) }^{ 4n-4 } }{ 2*{ 8 }^{ n } }  } =\sum _{ n=60 }^{ \infty  }{ \frac { { 2 }^{ 2n-2 } }{ 2*{ 8 }^{ n } }  } \\ =\sum _{ n=60 }^{ \infty  }{ \frac { { 2 }^{ 2n }{ 2 }^{ -2 } }{ 2*{ 8 }^{ n } }  } =\sum _{ n=60 }^{ \infty  }{ \frac { { 2 }^{ 2n } }{ { 2 }^{ 3 }*{ 8 }^{ n } }  } =\frac { 1 }{ { 2 }^{ 3 } } \sum _{ n=60 }^{ \infty  }{ \frac { 4^{ n } }{ { 8 }^{ n } }  } =\\ \frac { 1 }{ { 2 }^{ 3 } } \sum _{ n=60 }^{ \infty  }{ \frac { 1^{ n } }{ { 2 }^{ n } }  } =\quad \frac { 1 }{ { 2 }^{ 3 } } \sum _{ n=60 }^{ \infty  }{ { (\frac { 1 }{ 2 } ) }^{ n } } =\quad \frac { 1 }{ { 2 }^{ 3 } } (\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { (\frac { 1 }{ 2 } ) }^{ n } } -\sum _{ n=0 }^{ 59 }{ { (\frac { 1 }{ 2 } ) }^{ n } } )\\ \\ =\frac { 1 }{ { 2 }^{ 3 } } (\frac { 1 }{ 1-\frac { 1 }{ 2 }  } -\frac { 1-(\frac { 1 }{ 2 } { ) }^{ 60 } }{ 1-\frac { 1 }{ 2 }  } )=\frac { 1 }{ { 2 }^{ 3 } } (\frac { 1 }{ \frac { 1 }{ 2 }  } -\frac { 1-(\frac { 1 }{ 2 } { ) }^{ 60 } }{ \frac { 1 }{ 2 }  } )\\ =\frac { 1 }{ { 2 }^{ 3 } } (\frac { (\frac { 1 }{ 2 } { ) }^{ 60 } }{ \frac { 1 }{ 2 }  } )=\frac { 1*2 }{ { 2 }^{ 3 }*{ 2 }^{ 60 } } =\frac { 1 }{ { 2 }^{ 62 } } \\ Jetzt\quad noch\quad 'mal'\quad 1024{ \quad  }^{ 4 }\quad =\quad { ({ 2 }^{ 10 }) }^{ 4 }={ 2 }^{ 40 }\\ \\ Schlussresultat:\quad \frac { 1 }{ { 2 }^{ 62 } } { 2 }^{ 40 }=\frac { 1 }{ { 2 }^{ 22 } } $$

Comments

Hi, danke für deine Antwort. Allerdings ist sie mir nicht ganz verständlich. Ich woltle eigentlich mit erstem Post ausdrücken, dass ich gar keine Ahnung von dieser Aufgabe habe. handelt es sich hierbei um "Summenrechen"? Ich kann trotz Stundenlangen googelns einfach nichts finden womit ich einen Anfang bekomme .. Hoffe du bist so freundlich und kann mir die ersten Schritte beispielhaft erläutern? :)

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Eine prima Herleitung die einen Daumen verdient!

Unglücklicherweise wurde die Aufgabe verkehrt abgeschrieben. Hier mal wie der Ansatz richtig ist:

$$ \sum _ { n = 60 } ^ { \infty } \frac { \sqrt { 2 } ^ { 4 n - 4 } } { 2 ^ { * } 8 ^ { n - 1 } } = \sum _ { n = 60 } ^ { \infty } \frac { \left( 2 ^ { 0.5 } \right) ^ { 4 n - 4 } } { 2 * \left( 2 ^ { 3 } \right) ^ { n - 1 } } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 2 ^ { 2 n - 2 } } { 2 * 2 ^ { 3 n - 3 } } = \sum _ { n = 60 } ^ { \infty } \frac { 2 ^ { 2 n - 2 } } { 2 ^ { 3 n - 2 } } = \sum _ { n = 60 } ^ { \infty } 2 ^ { - n } $$

Der Rest ist dann genau so. Und so kommt man am Ende auch auf das richtige Ergebnis.

Als Ergebnis kommt dann heraus 1/2^19.

Zitat: "Allerdings ist sie mir nicht ganz verständlich."

Was ist dir genau nicht verständlich? Wenn etwas unklar ist, dann kann man helfen. So pauschal zu sagen es ist unverständlich hilft nicht gerade weiter.

Probiere jeden Schritt nachzuvollziehen. Hast Du Schwierigkeiten am Anfang mit den Potenzgesetzten?

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Hier noch die definitive Umformung mit richtig abgeschriebener Aufgabe:

$$ \sum _{ n=60 }^{ \infty  }{ \frac { { \sqrt { 2 }  }^{ 4n-4 } }{ 2*{ 8 }^{ n-1 } }  } =\quad \sum _{ n=60 }^{ \infty  }{ \frac { { ({ 2 }^{ 0.5 }) }^{ 4n-4 } }{ 2*{ 8 }^{ n }*{ 8 }^{ -1 } }  } =\sum _{ n=60 }^{ \infty  }{ \frac { { 2 }^{ 2n-2 } }{ 2*{ 8 }^{ n }*{ 2 }^{ -3 } }  } \\ =\sum _{ n=60 }^{ \infty  }{ \frac { { 2 }^{ 2n }{ 2 }^{ -2 } }{ { 2 }^{ -2 }*{ 8 }^{ n } }  } =\sum _{ n=60 }^{ \infty  }{ \frac { { 2 }^{ 2n } }{ { 8 }^{ n } }  } =\sum _{ n=60 }^{ \infty  }{ \frac { 4^{ n } }{ { 8 }^{ n } }  } =\\ \sum _{ n=60 }^{ \infty  }{ \frac { 1^{ n } }{ { 2 }^{ n } }  } =\quad \sum _{ n=60 }^{ \infty  }{ { (\frac { 1 }{ 2 } ) }^{ n } } =\quad (\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { (\frac { 1 }{ 2 } ) }^{ n } } -\sum _{ n=0 }^{ 59 }{ { (\frac { 1 }{ 2 } ) }^{ n } } )\\ \\ =(\frac { 1 }{ 1-\frac { 1 }{ 2 }  } -\frac { 1-(\frac { 1 }{ 2 } { ) }^{ 60 } }{ 1-\frac { 1 }{ 2 }  } )=(\frac { 1 }{ \frac { 1 }{ 2 }  } -\frac { 1-(\frac { 1 }{ 2 } { ) }^{ 60 } }{ \frac { 1 }{ 2 }  } )\\ =(\frac { (\frac { 1 }{ 2 } { ) }^{ 60 } }{ \frac { 1 }{ 2 }  } )=\frac { 1*2 }{ { 2 }^{ 60 } } =\frac { 1 }{ { 2 }^{ 59 } } \\ Jetzt\quad noch\quad 'mal'\quad 1024{ \quad  }^{ 4 }\quad =\quad { ({ 2 }^{ 10 }) }^{ 4 }={ 2 }^{ 40 }\\ \\ Schlussresultat:\quad \frac { 1 }{ { 2 }^{ 59 } } { 2 }^{ 40 }=\frac { 1 }{ { 2 }^{ 19 } } $$

@Mathecoach. Danke für den Hinweis.