Eckpunkte eines Würfels (Vektorraum)

Question

Hallo, ich hätte ein Problem bei einer Aufgabe. Ich hoffe, jemand kann helfen.

Aufgabe: A (0 | 0 | 0), B (6 | 3 | -6), D(-6 | 6 | -3), E (3 | 6 | 6)

Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Punkte A, B, D, und E Eckpunkte eines Würfels sind.

Answer 1

Hallo

alle haben dieselbe Länge von A aus also |AB|=|AD|=|AE| und AB senkrecht AD und AE  (Skalarprodukt=0

Gruß lul

Answer 2

Hallo,

Wenn die Vektoren von \(A\) zu den Punkten \(B\), \(D\) und \(E\) gleich lang sind und paarweise senkrecht zu einander stehen, dann bilden sie die Ecken eines Würfels.

Die Orthogonalität ist vorhanden, wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren 0 ist.$$|\vec{AB}| = |\vec{AD}| =|\vec{AE}| = \sqrt{6^2+3^2+6^2} \\ \vec{AB} \cdot \vec{AD} = \begin{pmatrix}6\\ 3\\ -6\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}-6\\ 6\\ -3\end{pmatrix} = 6\cdot(-6) + 3\cdot 6 + (-6)\cdot(-3) =0 \\ \text{usw.}$$Und dies ist der Fall! Wie man auch an Hand des folgenden Bildes sehen kann:

Die Punkte A, B, D und E liegen an den vorgegbenen Koordinaten und der Würfel mit Kantenlänge 9 passt genau hinein. (klick auf das Bild)

Gruß Werner

Answer 3

"Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Punkte A, B, D, und E Eckpunkte eines Würfels sind."

Zu zeigen z.B.

1. für die Beträge gilt: |AB| = |AD| = |AE| .

2. Berechne: Vektorprodukt v: = AB x AD und zeige v = t * AE, t reeller Faktor.

3. Kontrolliere den Faktor t mit Pythagoras (freiwillig)

Weiterer Aufgabenteil https://www.mathelounge.de/906773/wurfel-fehlende-punkte-berechnen-vektorgeometrie