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Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion

F(x,y)=3⋅x^2+5xy+10y^2.
Berechnen Sie die folgenden Größen an der Stelle a=(3,1)⊤ unter Beibehaltung des Niveaus der Funktion F(a). (Gehen Sie außerdem davon aus, dass x≥0 und y≥0 gilt.)

a. Momentane Änderungsrate von x1 bei Veränderung von y um eine marginale Einheit.
b. Exakte Veränderung von x1, wenn sich y um 0.35 Einheiten verringert.
c. Approximative Veränderung von x1, wenn sich y um 0.35 Einheiten verringert.

Problem/Ansatz:

Hallo,

Leider habe ich nur noch einen Versuch und zwei der Antworten sind falsch. Für a) habe ich -4,375 herausbekommen. Ich habe dafür -Fx1/Fx2 gerechnet. bei b) habe ich -0,49. Ich habe dabei bei der Funktion statt y=1 y=0,65 genommen. Bei c) habe ich 0,98. Dies habe ich mit partieller Ableitung gerechnet. Meinem Gefühl nach sind b und c falsch. Hat jemand eine Ahnung wie ich rechnen könnte? Bzw. weiß jemand die Ergebnisse? Bei den ähnlichen Fraen bin ich leider auch nicht fündig geworden...


Vielen Dank im Voraus

gruß

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Aloha :)

Mist, ich habe gerade mal schnell dein Ergebnis von (a) nachgerechnet, aber das stimmt hinten und vorne nicht. Daher vermute ich, dass du etwas Grundsätzliches falsch machst. Ich führe dir die Rechnung mal vor, vielleicht erkennst du dann deinen Bug...$$F(x;y)=3x^2+5xy+10y^2\quad;\quad a=(3;1)$$

zu a) Die momentane Änderungsrate erhalten wir durch das Differential \(dF\):$$dF(x;y)=\frac{\partial F}{\partial x}\,dx+\frac{\partial F}{\partial y}\,dy=(6x+5y)dx+(5x+20y)dy$$An der Stelle \(a=(3;1)\) soll sich die Funktion nicht ändern, also soll dort das totale Differential null sein:$$dF(3;1)=23dx+35dy\stackrel!=0\quad\implies\quad\boxed{\frac{dx}{dy}=-\frac{35}{23}\approx-1,521739}$$

zu b) Hier musst du folgende Gleichung lösen:$$F(3;1)=F(3+\Delta x\,;\,0,65)$$$$52=3\cdot(3+\Delta x)^2+5\cdot0,65\cdot(3+\Delta x)+10\cdot0,65^2$$$$52=3(\Delta x)^2+21,25\Delta x+40,975$$$$\boxed{\Delta x\approx0,485541}$$

zu c) Hier musst du \(dy=-0,35\) in das Ergebnis von a) einsetzen:$$dx=-\frac{35}{23}\cdot(-0,35)=\boxed{0,532609}$$

Avatar von 152 k 🚀

Lieber/e Tschakabumba,


vielen vielen Dank! So ausführlich und leicht verständlich hat mir das noch niemand erklärt!! Ich wünsche dir einen wunderschönen Tag!

Liebe grüße

ichbrauchehilfe123

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