Aloha :)
Mist, ich habe gerade mal schnell dein Ergebnis von (a) nachgerechnet, aber das stimmt hinten und vorne nicht. Daher vermute ich, dass du etwas Grundsätzliches falsch machst. Ich führe dir die Rechnung mal vor, vielleicht erkennst du dann deinen Bug...$$F(x;y)=3x^2+5xy+10y^2\quad;\quad a=(3;1)$$
zu a) Die momentane Änderungsrate erhalten wir durch das Differential \(dF\):$$dF(x;y)=\frac{\partial F}{\partial x}\,dx+\frac{\partial F}{\partial y}\,dy=(6x+5y)dx+(5x+20y)dy$$An der Stelle \(a=(3;1)\) soll sich die Funktion nicht ändern, also soll dort das totale Differential null sein:$$dF(3;1)=23dx+35dy\stackrel!=0\quad\implies\quad\boxed{\frac{dx}{dy}=-\frac{35}{23}\approx-1,521739}$$
zu b) Hier musst du folgende Gleichung lösen:$$F(3;1)=F(3+\Delta x\,;\,0,65)$$$$52=3\cdot(3+\Delta x)^2+5\cdot0,65\cdot(3+\Delta x)+10\cdot0,65^2$$$$52=3(\Delta x)^2+21,25\Delta x+40,975$$$$\boxed{\Delta x\approx0,485541}$$
zu c) Hier musst du \(dy=-0,35\) in das Ergebnis von a) einsetzen:$$dx=-\frac{35}{23}\cdot(-0,35)=\boxed{0,532609}$$
