Varianz und Erwartungswert der Funktion einer Zufallsvariablen

Question

Aufgabe:

Eine Unternehmung sieht sich auf dem Absatzmarkt schwankender Nachfrage gegenübergestellt. Die Höhe der Nachfrage X sei folgendermaßen verteilt:

f(x) = 1/12      für 0 <= x <= 12 und f(x) = 0 sonst

wird die Produktion der Unternehmung unmittelbar abgesetzt, d.h. es existieren keine Absatzlager.

Die Kostenfunktion der Unternehmung lautet Y = 2X + 10

Man gebe den Erwartungswert und die Varianz der Kosten.

Problem/Ansatz:

Ich kapiere hier leider nicht wie ich das ausrechnen könnte... hab jetzt länger versucht das zu lösen, aber verstehe leider nicht wie ich das ordentlich berechne.

Würde mich über jegliche Unterstützung und Erklärung wie man so ein Problem angeht sehr freuen!

Danke und viele Grüße

Comments

Ein munterer Wechsel zwischen groß X und klein x.

Wofür steht eigentlich klein x?

Answer 1

Aloha :)

Wenn ich die Aufgabe richtig verstehe, haben wir eine Zufallsvariable \(X\) mit konstanter Nachfrage, also konstanter Dichtefunktion:$$f(x)=\frac{1}{12}\quad;\quad x\in[0;12]$$Wir bestimmen die Momente der Verteilung:$$\left<X\right>=\int\limits_0^{12}x\cdot f(x)\,dx=\int\limits_{0}^{12}\frac{x}{12}\,dx=\left[\frac{x^2}{24}\right]_0^{12}=\frac{144}{24}=6$$$$\left<X^2\right>=\int\limits_0^{12}x^2\cdot f(x)\,dx=\int\limits_{0}^{12}\frac{x^2}{12}\,dx=\left[\frac{x^3}{36}\right]_0^{12}=\frac{1728}{36}=48$$und daraus den Erwartungswert \(E(X)\) und die Varianz \(V(X)\):$$E(X)=\left<X\right>=6$$$$V(X)=\left<X^2\right>-\left<X\right>^2=48-6^2=12$$

Die Kostenfunktion sei nun:$$Y=2X+10$$Da der Erwartungswert linear ist, erhalten wir für den Erwartungswert der Kosten:$$E(Y)=\left<Y\right>=\left<2X+10\right>=2\left<X\right>+10=2\cdot6+10=22$$Bei der Varianz müssen wir beachten, dass ein konstanter Faktor quadratisch vor die Varianz gezogen wird und dass ein konstanter Beitrag wegfällt, weil darin ja nichts variiert, formal heißt das:$$V(\alpha\cdot X+\beta)=\alpha^2\cdot V(X)$$Das wenden wir auf die Kostenfunktion an:$$V(Y)=V(2X+10)=2^2\cdot V(x)=4\cdot12=48$$Weil die Standardabweichung die Wurzel aus der Varianz ist, gilt für die erwarteten Kosten:$$Y=22\pm7$$