Aufgabe:
\(V, W\) Vektorräume über Körper \(K\) und \(\phi: V \to W\) lineare Abbildung. Beweisen Sie, dass wenn \(V = W\) ist gilt \(\phi \circ \phi = \phi\), genau dann, wenn es eine geordnete Basis \(A = (v_1, ..., v_m)\) von \(V\) gibt, so dass die darstellende Matrix \(M^A_A(\phi)\) die Form \(\begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) hat.
Problem/Ansatz:
Prinzipiell kann kann man sich ja eine Basis vom Kern wählen (Da \(\ker \phi \) Untervektorraum) und die zu einer Basis von \(V\) ergänzen, dann hätten wir ja diese Blockstruktur.
Könnte man für die eine Richtung ''\(\Rightarrow\)'' nicht einfach wie oben gesagt die Basis wählen und da (angenommen) \(\phi \circ \phi = \phi \) gilt, die Einheitsmatrix ergibt und die Kernelemente so oder so gleich null sind, wenn man \(\phi \) drauf anwendet, folgt diese Form. Für die andere Richtung fehlt mir leider die Idee.. Oder wie kann man den Beweis eventuell richtig führen?
