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Aufgabe:

Berechnen Sie das Taylorpolynom 3. Grades T3 (x) für f(x)=xf(x) =\sqrt x mit dem
Entwicklungspunkt x0=1. Berechnen Sie mit diesem Polynom näherungsweise 1,15\sqrt{1,15}
und bestimmen Sie die Genauigkeit (Restgliedabschätzung von Lagrange).


Problem/Ansatz:

Hat jemand einen Ansatz? Für den Fall, dass jemand die Lösung schreibt, bitte ich für die Schritte eine Erklärung, da ich die Lösung nachvollziehen und verstehen möchte. Tipps zur Lösung sind selbstverständlich erwünscht.

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Bist du sicher, dass die Funktion f(x)=xf(x)=x stimmt?

näherungsweise 1,15

Und was steht im Original der Aufgabe?

Danke! Die richtige Version lautet: f(x) =  x \sqrt{x}  und 1,15 \sqrt{1,15} . :)

1 Antwort

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Beste Antwort

Aloha :)

Wir brauchen zunächst ein paar Ableitungen:f(x)=x1/2  ;  f(x)=12x1/2  ;  f(x)=14x3/2  ;  f(x)=38x5/2  ;  f(x)=1516x7/2f(x)=x^{1/2}\;;\;f'(x)=\frac12x^{-1/2}\;;\;f''(x)=-\frac14x^{-3/2}\;;\;f'''(x)=\frac38x^{-5/2}\;;\;f''''(x)=-\frac{15}{16}x^{-7/2}Damit schreiben wir die Taylor-Entwicklung auf:f(x)f(1)+f(1)(x1)+12!f(1)(x1)2+13!f(1)(x1)3f(x)\approx f(1)+f'(1)\cdot(x-1)+\frac1{2!}f''(1)\cdot(x-1)^2+\frac1{3!}f'''(1)\cdot(x-1)^3Der Fehler ist nach Lagrange:Δf(x)=maxη[1;x]14!f(η)(x1)4=maxη[1;x]1524161η7/2(x1)4\Delta f(x)=\operatorname{max}_{\eta\in[1;x]}\left|\frac{1}{4!}f''''(\eta)\cdot(x-1)^4\right|=\operatorname{max}_{\eta\in[1;x]}\left|\frac{15}{24\cdot16}\frac{1}{\eta^{7/2}}\cdot(x-1)^4\right|

Wir setzen die Ableitungen in die Taylor-Entwicklung ein und finden:f(x)1+12(x1)18(x1)2+116(x1)3;Δf(x)=5128(x1)4f(x)\approx1+\frac12(x-1)-\frac18(x-1)^2+\frac{1}{16}(x-1)^3\quad;\quad\Delta f(x)=\frac{5}{128}(x-1)^4Der Fehler gilt nur für x1x\ge1, da wir das Maximum mit η=1\eta=1 abgeschätzt haben.

Setzen wir nun x=1,15x=1,15 ein, finden wir:1,151,072398;Δ(1,15)=0,000020\sqrt{1,15}\approx1,072398\quad;\quad\Delta\left(\sqrt{1,15}\right)=0,000020

Avatar von 152 k 🚀

Hi, danke für die Antwort. Aber warum beginnt man bei der Ableitung mit x1/2=

Es ist x=x1/2\sqrt x=x^{1/2}, daher geht es mit 1/21/2 im Exponenten los ;)

Danke :) Wofür braucht man eig. die 4. Ableitung, wenn man doch ein Taylorpolynom 3. Grades hat?

Das ist die Restglied-Abschätzung nach Lagrange... Die ist fast genau der nächste Term der Taylor-Entwicklung ein. Daher brauchen wir für den die 4-te Ableitung. Einziger Unterschied ist, dass man im Fehlerterm das Maximum der Ableitung im Intervall von xx bis zum Entiwcklungspunkt x0x_0 suchen muss.

... und weil ich gerade mit Desmos übe, anbei der Graph von T3T_3 (rot), der sich an den Graphen von f(x)=xf(x)=\sqrt x (blau) anschmiegt:


Danke nochmal :) Jetzt noch die letzte Frage, du hast das Eta-Symbol verwendet. Was genau hat es in der oberen Aufgabe für eine Bedeutung?

Das η\eta steht für denjenigen Wert aus dem Intervall [x0;x][x_0;x], für den der Fehlerterm maximal wird. Im obigen Beispiel steht im Fehlerterm der Faktor 1η7/2\frac{1}{\eta^{7/2}}. Da x0=1x_0=1 und x=1,15>1x=1,15>1 ist. Ist dieser Term maximal, wenn η=1\eta=1 ist.

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