Aloha :)
Wir brauchen zunächst ein paar Ableitungen:f(x)=x1/2;f′(x)=21x−1/2;f′′(x)=−41x−3/2;f′′′(x)=83x−5/2;f′′′′(x)=−1615x−7/2Damit schreiben wir die Taylor-Entwicklung auf:f(x)≈f(1)+f′(1)⋅(x−1)+2!1f′′(1)⋅(x−1)2+3!1f′′′(1)⋅(x−1)3Der Fehler ist nach Lagrange:Δf(x)=maxη∈[1;x]∣∣∣∣∣4!1f′′′′(η)⋅(x−1)4∣∣∣∣∣=maxη∈[1;x]∣∣∣∣∣24⋅1615η7/21⋅(x−1)4∣∣∣∣∣
Wir setzen die Ableitungen in die Taylor-Entwicklung ein und finden:f(x)≈1+21(x−1)−81(x−1)2+161(x−1)3;Δf(x)=1285(x−1)4Der Fehler gilt nur für x≥1, da wir das Maximum mit η=1 abgeschätzt haben.
Setzen wir nun x=1,15 ein, finden wir:1,15≈1,072398;Δ(1,15)=0,000020