Wann ist diese Gruppe abelsch?

Question

Aufgabe:

Seien (A, ◦_A),(B, ◦_B) zwei Gruppen. Zeigen Sie, dass (A × B, ˆ◦) eine Gruppe ist, wobei ˆ◦ : (A × B) × (A × B) → (A × B)       ((a₁, b₁),(a₂, b₂)) ↦ (a1 ◦A a2, b1 ◦B b2).

Wann ist diese Gruppe abelsch?

Hinweis: Zusätzlich zur Assoziativität und der Existenz eines neutralen und inversen Elements
müssen Sie zeigen, dass die Menge A × B bezüglich ˆ◦ abgeschlossen ist,
d.h. (a₁, b₁)ˆ◦(a₂, b₂) ∈ A × B ∀(a₁, b₁),(a₂, b₂) ∈ A × B

Problem/Ansatz:

Hallo, leider verstehe ich nicht, wie ich mithilfe des Hinweises zeigen soll, dass die Menge A × B bezüglich ˆ◦ abgeschlossen ist zur Assoziativität und der Existenz eines neutralen und inversen Elements. Vielen Dank schon mal im voraus! (ˆ◦ stellt euch das wie ein Kreis mit einem Dach überm Kopf vor)

Answer 1

Ich fände es so besser lesbar:

Seien (A, *),(B, +) zwei Gruppen. Zeigen Sie, dass (A × B, °) eine Gruppe ist, wobei ° : (A × B) × (A × B) → (A × B)      ((a1, b1),(a2, b2)) ↦ (a1 * a2, b1 + b2).

(A × B, °)  abgeschlossen bedeutet dann ja

Für alle (a1, b1),(a2, b2) ∈ A x B ist auch (a1, b1)°(a2, b2) ∈ A x B.

Seien also (a1, b1),(a2, b2) ∈ A x B

==>   a1,a2 ∈ A und b1,b2 ∈ B.

==>  a1 * a2  ∈ A, weil A eine Gruppe, also abgeschlossen ist
und   b1+b2 ∈ B , weil A eine Gruppe, also abgeschlossen ist.

==>   (a1 * a2, b1 + b2) ∈ A x B.

Die anderen Gruppeneigenschaften zeigst du auch durch

Rückführung auf die entsprechende Eigenschaften von A und B.

neutr. Element ist z.B ( e_A , e_B ) , wenn e_A und e_B die von A bzw. B sind.