Grenzwert berechnen durch Substitution

Question

Aufgabe:

lim f_a(x) soll berechnet werden, wobei f_a(x)=(2-a^1/x)^x

Hierbei geht x gegen unendlich, a ist zwischen 0 und 1 und x zwischen 0 und unendlich.

Als Hinweis soll man substituieren mit t=1/x und der Funktion g_a(t)=log f_a(1/t)

Ich bin soweit, dass ich bereits substituiert habe, aber bin mir unsicher, was ich mit der Funktion g anfangen soll.

Es soll ein Grenzwert rauskommen, damit wäre unendlich ja ausgeschlossen, oder?

Answer 1

Kleiner Tipp

$$(2-a^\frac{1}{x})^x = (2-a^t)^\frac{1}{t} = e^{\ln{(2-a^t)^\frac{1}{t}}} = e^{\frac{1}{t} \cdot \ln{(2-a^t)}}$$

Untersuche jetzt den Exponenten der e-Funktion auf einen Grenzwert. Beachte das t gegen 0 geht.

Comments

Aber wenn t gegen 0 geht, ist 1/t dann nicht ein Widerspruch?

Ansonsten würde ich auf e^{ln 2} kommen, also insgesamt den Grenzwert 2, passt das?

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Warum sollte 1/t ein Widerspruch sein? Bedenke t geht nur gegen Null wird aber nicht null.

Und dein Grenzwert stimmt nicht, was dir jeder Onlinerechner auch hätte erzählen können.

Da ich nicht weiß was du gemacht hast kann ich auch nicht sagen wo der Fehler liegt.

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Ich glaube ich hatte auch eine Denkfehler drin…

Ich hätte gesagt, dass der Term a^t gegen 1 geht (weil alles hoch 0 ist 1), damit blieb dann 1/t ln (2)

Außerdem kenne ich Terme wie 1/t für t gegen o nur so, dass sie nicht existieren…

Ich glaube, dass ich mir das viel zu kompliziert mache

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Wenn a^t gegen 1 geht, dann geht doch 2 - a^t gegen 1 oder nicht?

Wenn 2 - a^t gegen 1 geht dann geht aber ln(2 - a^t) gegen 0 oder nicht.

Und wohin geht dann 1/t * ln(2 - a^t) ?

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Dann würde der Exponent 0 sein, weil ein Faktor gegen 0 geht und insgesamt bleibt dann e^0, also 1?