Lineare Algebra. Parameterdarstellung der Ebene E durch P,Q,R? Welches Parameterpaar

Question

Gegeben sei eine Ebene E durch drei ihrer Punkte P, Q, R ∈ E³, die nicht auf einer Geraden liegen. Den drei Punkten seien die Ortsvektoren p = $$ \xrightarrow { OP } $$, q = $$ \xrightarrow { OQ } $$, r = $$ \xrightarrow { OR } $$ eines       V³₀ zugeordnet. 

1. Geben Sie eine Parameterdarstellung der Ebene E an.

2. Welches Parameterpaar ist dem Mittelpunkt der Strecke QR zugeordnet? 

3. Liegt der Punkt P: p = $$ \xrightarrow { OP } $$ = p+2q-2r in der Ebene E? 

Answer 1

Ich benutze fett für Vektoren

P, Q, R ∈ E³, die nicht auf einer Geraden liegen. Den drei Punkten seien die Ortsvektoren p =

−→−OP, q =−→−OQ, r =−→−OReines       V³₀ zugeordnet. 

1. Geben Sie eine Parameterdarstellung der Ebene E an.

E : x = p + tPQ + sPR      , t,s Element R

 

E : x = p + t(q-p) + s(r-p)      , t,s Element R

 

2. Welches Parameterpaar ist dem Mittelpunkt der Strecke QR zugeordnet? 

0M = p + PQ + 1/2 QR

= p + PQ + 1/2 (-PQ + PR) 

= p +1/2 PQ + 1/2 PR

(s,t) = (1/2 , 1/2)

3. Liegt der Punkt U: u =          |Umbenannt, da Konflikt mit gegebenem P.

−→−OPu= p+2q-2r in der Ebene E? 

 

u= p+2q-2r = p + 2(q-r) = p + 2RQ

U liegt in E, da RQ in E liegt und p auf E zeigt.