Geben Sie eine Funktionsvorschrift für (f_A)^2 an!

Question

Hallo zusammen.

$$\text{Es sei } A = $$

1	-2
2	5

$$\text{Wie berechnet man Funktionsvorschrift für } (f_A)^2  $$

Ich dachte mir, dass es unendlich viele Wege gibt, wie man diese Matrix erhält, aber ich glaube, dass ich da falsch liege.

Vielen Dank im Voraus

Answer 1

Hallo,

Für eine Funktionsvorschrift muss ja irgendwo eine Funktion definiert sein. Das ist ja gar nicht der Fall! Es ist ja nur von einer Funktion \(f_A\) und einer Matrix \(A\) die Rede.

Im Allgemeinen geht es dabei um lineare Abbildungen der Form$$f_A(x)= A \cdot x \quad x \in \mathbb R^2$$Wenn \(A\) eine 2x2-Matrix ist, wie hier. Und eine Funktionsvorschrift \(\left(f_A\right)^2\) heißt nichts anderes, als die Funktion \(f_A\) zweimal hintereinander anzuwenden:$$\left(f_A\right)^2(x) = f_A(f_A(x))= A \cdot \left( A \cdot x\right) = A^2 \cdot x$$

Ich dachte mir, dass es unendlich viele Wege gibt, wie man diese Matrix erhält, aber ich glaube, dass ich da falsch liege.

Wenn es sich also bei dem \(A^2\) um die von Dir erwähnte 'diese Matrix' handelt, so ist das schlicht:$$A^2=\begin{pmatrix}1& -2\\ 2& 5\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}-3& -12\\ 12& 21\end{pmatrix}$$siehe Multiplikation von Matrizen.

Gruß Werner

Comments

Danke erstmal für die Antwort.

Die Aufgabenstellung besagt, dass wir eine Funktionsvorschrift für (f_A)^2 angeben müssen. Kann es sein, dass die Matrix (welche in der Aufgabenstellung auch nur Matrix genannt wird) eine Abbildungsmatrix sein soll, woraus man eine Funktionsvorschrift ableiten bzw. ablesen kann?

---

Den Begriff "Funktionsvorschrift" haben wir bisher in folgender Form kennengelernt:

R^n → R^m, x |--> y

also bin ich nicht sicher, ob die gewünschte Antwort wie deine aussehen soll, auch wenn Sie natürlich absolut Sinn ergibt :).

---

Den Begriff "Funktionsvorschrift" haben wir bisher in folgender Form kennengelernt:$$\mathbb R^n \to \mathbb R^m,\space x\to y$$

Ja - das ist doch nur eine andere Schreibweise. Wenn die gesuchte 'Funktionsvorschrift' eine lineare Abbildung in 2D ist, dann wäre die Funktionsvorschrift für \(\left(f_A\right)^2\) $$\mathbb R^2 \to \mathbb R^2,\quad x\to A^2\cdot x$$und was \(A^2\) ist, steht oben.