Wie beweise ich die Funktionsvorschrift?

Question

Aufgabe:

i) Beweise, dass die Ableitungsfunktion der Potenzfunktion f(x) = ax stets die Funktionsvorschrift

f'(x) = a hat.
ii) Beweise, dass die Ableitungsfunktion der Potenzfunktion f(x) = ax² stets die Funktionsvorschrit f'(a) = 2ax hat.
iii) Beweise, dass die Ableitungsfunktion der Potenzfunktion f(x) = ax³ stets die Funktionsvorschrift f'(=) = 3ax² hat.

Problem/Ansatz:

Hallo, ich weiß nicht wie ich hier bei diese drei Aufgaben lösen soll, kann es mir jemand bitte erklären?

Danke im Voraus.

Answer 1

Aloha :)

Hier brauchst du eigentlich nur die \(\green{\text{binomischen Formeln}}\) zu verwenden:

$$\left(a\cdot x\right)'=\lim\limits_{h\to0}\frac{a\cdot(x+h)-a\cdot x}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{\pink{ax}+ah\pink{-ax}}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{ah}{h}=\lim\limits_{h\to0}(a)=a$$

$$\left(a\cdot x^2\right)'=\lim\limits_{h\to0}\frac{a\cdot\green{(x+h)^2}-a\cdot x^2}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{a\green{(x^2+2hx+h^2)}-ax^2}{h}$$$$\phantom{\left(a\cdot x^2\right)'}=\lim\limits_{h\to0}\frac{\pink{ax^2}+2ahx+ah^2\pink{-ax^2}}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{2ahx+ah^2}{h}=\lim\limits_{h\to0}\left(2ax+ah\right)=2ax$$

$$\left(a\cdot x^3\right)'=\lim\limits_{h\to0}\frac{a\cdot\green{(x+h)^3}-a\cdot x^2}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{a\green{(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3)}-ax^3}{h}$$$$\phantom{\left(a\cdot x^3\right)'}=\lim\limits_{h\to0}\frac{\pink{ax^3}+3ax^2h+3axh^2+ah^3\pink{-ax^3}}{h}$$$$\phantom{\left(a\cdot x^3\right)'}=\lim\limits_{h\to0}\frac{3ax^2h+3axh^2+ah^3}{h}=\lim\limits_{h\to0}\left(3ax^2+3axh+ah^2\right)=3ax^2$$

Answer 2

Für alle 3 Funktionen kann die 1.Ableitung über den Differenzquotienten ermittelt werden

Beweise, dass die Ableitungsfunktion der
Potenzfunktion f(x) = ax^2 stets die Funktionsvorschrift
f'(x) = 2ax hat.

f1 ( x ) a * x^2
f2 ( x + h ) = a * ( x + h)^2
( x | y )
( x | a * x^2 )
( x + h | ( a * ( x + h)^2 )

Steigung = 1.Ableitung
f ´( x ) = Δ y / Δ x
( f2 - f1 ) / ( x + h - x )
[ a * ( x + h)^2 - a * ( x)^2  ] / h
[ a * ( x^2 + 2*h*x + h^2 ) - a * x^2 ] / h
a * ( x^2 + 2 * h * x + h^2 - x^2 ) / h
a * ( 2 * h * x + h^2 ) / h
a * h ( 2 * x + h ) / h

a * ( 2 * x + h )
a* 2 * x + a * h

lim h -> 0= a * 2 * x
f ´( x ) = 2ax

Answer 3

Bilde für jede der Funktionen den Grenzwert

\( \lim\limits_{h \to0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\).

Für f(x)=ax² musst du also

\( \lim\limits_{h \to0} \frac{a(x+h)^2-ax^2}{h}=a\cdot\lim\limits_{h \to0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h}\). bilden.

Ich nehme an, du kennst die dafür erforderliche binomische Formel.

Comments

Es kommen zwei unterschiedliche binomische Formeln infrage.

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Wenn man negative Werte von h zulässt dann kannst du die 2. Binomische Formel ignorieren.

Da oben nicht ausdrücklich steht das h > 0 gelten soll, beinhaltet die obige Betrachtungsweise also auch den Fall für den du gerne die 2. Binomische Formel verwenden würdest.

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Ich dachte eher an die dritte binomische Formel.

Answer 4

Für die Aufgabe ii) könntest du dir das folgende Video ansehen.

https://youtu.be/NBb0zLp6_40 ans

Versuche das also erstmal so nachzuvollziehen und dann ersetzt du im Funktionsterm die 3 durch ein a und machst das Ganze nochmals.

Schaffst du das? Wenn nicht, woran scheiterst du?

Jetzt gibt es noch einen leichteren Fall und einen etwas schwierigeren Fall. Den leichteren solltest du vermutlich dann auch schaffen. Beim schwierigeren hast du vermutlich schwierigkeiten (x + h)^3 auszumultiplizieren. Da findest du aber bei Youtube auch verschiedene Videos wo das erklärt wird.