Funktionsvorschrift eines Polynoms

Question

Aufgabe:

Geben Sie eine Funktionsvorschrift eines Polynoms p an, das die drei Bedingungen aus a erfüllt, und bei dem zusätzlich gilt:

p(0)=1

das Polynom bei a sieht folgendermaßen aus: p(x)= -(x+2)•(x-1)•(x-2)² •(x-4)²

Problem/Ansatz:

Ich habe ja 4 Nullstellen, 2 Normale, 2 Doppelte. Das Absolutglied d ist also 1 da p(0)=1 ist. Ich weiß aber nicht wie das Polynom mit der neuen Bedingung erweitert werden muss. Einfach +1 am Ende ist natürlich falsch.

Comments

Hallo,

da ich nicht weiß, was in a) verlangt ist, kann ich nur raten: Vielleicht hilft es, \(p(x)\) mit einem geeigneten reellen Faktor a zu ersetzten durch \(a p(x)\)?

Gruß

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Das steht in der Lösung

Text erkannt:

\( \begin{aligned} \text { a) } p(x) &=-\frac{(x+2) \cdot(x-1) \cdot(x-2)^{2} \cdot(x-4)^{2}}{1} \cdot \sqrt{\frac{1}{2 \cdot(-1) \cdot(-2)^{2} \cdot(-4)^{2}} \cdot \sqrt{1}} \\ &=-\frac{1}{128} \cdot(x+2)(x-1)(x-2)^{2} \cdot(x-4)^{2} \end{aligned} \)

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Wie kommt den bitte dieser Bruch bei b zustande, verstehe ich nicht.

Answer 1

p(x)= -a(x+2)•(x-1)•(x-2)^2 •(x-4)^2

p(0)=-a*2*(-1)*(-2)^2*(-4)^2=1

-a*(-128)=1

a=1/128

:-)

Answer 2

Das Polynom ist nicht ganz richtig

p(x)= -(x+2)•(x-1)•(x-2)^2 •(x-4)^2

sondern es muss

p(x)= a*(x+2)•(x-1)•(x-2)^2 •(x-4)^2   

heißen; denn der Faktor davor ändert an den Nullstellen nix.

Dann p(0)=1 einsetzen und damit a bestimmen.

Comments

Also die Bedingungen aus sind:

1. p schneidet die X Acshe (mit VZ-wechsel) bei x=-2 x=1

2. p berührt die X Achse (Ohne VZ-wechsel) bei x=2 x=4

3.\( \lim\limits_{x\to\infty} p(x) \) = - unendlich

Und das erste Polynom steht in der Lösung für a

Answer 3

Wenn das Polynom bereits durch p(x)= -(x+2)•(x-1)•(x-2)² •(x-4)² gegeben ist, dann muss ein Faktor a gefunden werden, sodass p(x)= a(-(x+2)•(x-1)•(x-2)² •(x-4)²) für x=0 den Wert p(0)=1 hat, also 1=a·(-2)·(-1)·(-2)²·(-4)²