Berechnung des monatlichen Haushaltseinkommens.

Question

Aufgabe:

Für einen Haushalt seien die (monatlichen) Ausgaben A(Y) für Energie (in €/Monat) in Abhängigkeit vom Haushaltseinkommen Y (in €/Monat) gegeben durch die Gleichung:

A(Y) = 50 * ln(Y/10 + 80) - 200

es gilt: Y > 0

Frage:

(1) Wie hoch ist das Haushaltseinkommen, wenn die monatliche Energieausgaben 100€ betragen? Hierbei kamen 3.234,29€ raus.

(2) Bei welchem monatlichen Haushaltseinkommen bewirkt eine Einkommenserhöhung um 1000,- €/Monat eine Steigerung der monatlichen Energieausgaben um 10,- €?

Problem/Ansatz:

Gehe ich nun von den 3.234,29€ aus?

Nach was muss ich auflösen?

Answer 1

1) Wie hoch ist das Haushaltseinkommen, wenn die monatliche Energieausgaben 100€ betragen? Hierbei kamen 3.234,29€ raus.

a = 50·LN(y/10 + 80) - 200 = 100 --> y = 3234.29
Das sieht also gut aus

2) Bei welchem monatlichen Haushaltseinkommen bewirkt eine Einkommenserhöhung um 1000,- €/Monat eine Steigerung der monatlichen Energieausgaben um 10,- €?

Näherung über die Tangente
a' = 50/(y + 800) = 10/1000 --> y = 4200

Exakte Bestimmung
m = (50·LN((y + 1000)/10 + 80) - 200) - (50·LN(y/10 + 80) - 200) = 10 --> y = 3716.66

Answer 2

100= 50 * ln(Y/10 + 80) - 200

y=10·e⁶- 800

y = 3234.29