Kosinusfunktion und Differentialgleichung

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Du musst doch nichts anderes machen als die Ableitungen berechnen und dann einsetzen, wo liegt das Problem?

Answer 1

Aloha :)

Aufgaben, in denen du die Richtigkeit einer gegebenen Lösung nachprüfen sollst, kannst du in der Regel dadurch bearbeiten, dass du die angebliche Lösung einsetzt und zeigst, dass die Bedingung erfüllt ist. Dazu überlegen wir uns zuerst die beiden ersten Ableitungen von \(\cosh x\):

$$\left(\cosh x\right)'=\left(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right)'=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\eqqcolon\sinh x$$$$\left(\cosh x\right)''=\left(\sinh x\right)'=\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)'=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh x$$

Damit folgen die Ableitungen der angeblichen Lösungsfunktion mit der Kettenregel:$$y(x)=a\cosh\left(\frac{x-x_0}{a}\right)+y_0$$$$y'(x)=a\sinh\left(\frac{x-x_0}{a}\right)\cdot\frac1a=\sinh\left(\frac{x-x_0}{a}\right)$$$$y''(x)=\frac1a\cosh\left(\frac{x-x_0}{a}\right)$$

Das setzen wir nun tollkühn in die Gleichung ein:$$\phantom{=}\left(y-y_0\right)y''(x)-\left(y'(x)\right)^2=a\cosh\left(\frac{x-x_0}{a}\right)\cdot\frac1a\cosh\left(\frac{x-x_0}{a}\right)-\sinh^2\left(\frac{x-x_0}{a}\right)$$$$=\cosh^2\underbrace{\left(\frac{x-x_0}{a}\right)}_{\eqqcolon u}-\sinh^2\underbrace{\left(\frac{x-x_0}{a}\right)}_{=u}=\left(\frac{e^u+e^{-u}}{2}\right)^2-\left(\frac{e^u-e^{-u}}{2}\right)^2$$$$=\frac{e^{2u}+2e^ue^{-u}+e^{-2u}}{4}-\frac{e^{2u}-2e^ue^{-u}+e^{-2u}}{4}=\frac{4\,\overbrace{e^ue^{-u}}^{=1}}{4}=\frac44=1\quad\checkmark$$

Answer 2

Definiere dir am besten auch \( sinh(x) = \frac{e^x-e^{-x}}{2} \)

Und zeige cosh(x) ' = sinh(x)  und sinh(x) ' = cosh (x) .

Dann hast du y ' = sinh ( (x-xo) / a)  und y ' ' = (1/a) * cosh ( (x-xo) / a)

Also y '' * (y - yo) = cosh^2 ( (x-xo) / a)

Und (y ' )^2 =  sinh^2 ( x-xo)/a ).

Und dann zeige am besten ganz allgemein, dass

cosh^2(z) - sinh^2(z) = 1 gilt durch Einsetzen in die Definitionen:

\(   (\frac{e^x+e^{-x}}{2})^2  - (  \frac{e^x-e^{-x}}{2}) ^2  \)

\(  \frac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4}- \frac{e^{2x}-2+e^{-2x}}{4} =  \frac{2}{4}- \frac{-2}{4}=1  \)