Wie kann ich mir |f(·)| vorstellen?

Question

Aufgabe:

Sei I Intervall und f:I-> ℝ in a ∈ I differenzierbar.

Ich soll eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür finden, dass |f(·)| :I-> ℝ ebenfalls in a Differenzierbar ist.

Problem/Ansatz:

Wie kann ich mir |f(·)| vorstellen ?

Comments

Die Betragsfunktion \(|\cdot |\) kehrt für negative Werte das Vorzeichen um und lässt positive Werte unberührt. Nimm den Sinus, dann klappst du alle Abschnitte in der unteren Halbebene in die obere Halbebene.

https://www.desmos.com/calculator/h5dgivcavs

Vielleicht siehst du dann auch schon, bei welchen Stellen man aufpassen muss.

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Super, Dankeschön.

Dh. Für alle x ∈ ℝ\{0} ist die Betragsfunktion diffbar?

Mit dem differenzquotienten kann man ziehen das für x₀ = 0 nicht diffbar ist da die GW nicht übereinstimmen ?

Also wäre x ∈ ℝ\{0} eine notwendig Bedingung ?

Ich betrachte dann x< 0 und bekomme dafür limes -1 und für x≥0 bekomme ich limes 1

Answer 1

Hallo

hinreichend ist sicher, wenn f(I)>=0 oder <=0 ist, jetzt überlege , ob das auch notwendig ist, z,B, warum ist es für x^3 auch |x^3| stetig etwa für I=(-1,+1)

Comments

Also hat meine Funktion f(x)= |x| einen „Knick“ bei dem Punkt (0,0), dh dann ich muss meine Funktion in verschieden Intervallen betrachten

-> die Bedingung ist dann notwendig ?

Ich habe für rechtsseitig f‘(0)=1 und für linksseitig f‘(0)=-1

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hallo

Was du jetzt machst also f(x)=x und |x| ansehen, hat mit dem Text der Aufgabe nichts zu zum, ausser das die Funktion f(x) die notwendige Bedingung nicht erfüllt, die du suchst.  f(x)=x^2 erfüllt die Bedingung in jedem Intervall f(x)=x^2-4 erfüllt sie im Intervall (3,10), nicht im Intervall (-3,3) Kurz du suchst nicht bestimmte Funktionen, sondern Bedingungen, die man an Funktionen allgemein stellen muss!

lul

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Okay und da ist das Problem, ich weiß nicht wie ich sowas allgemein mache…

Ich muss als Bedienung also habe,dass die Funktion abschnittsweise definiert werden.

Dh. Die Stellen wo sie nicht diffbar sind muss ich ausschließen ?

nicht stetig -> nicht diffbar aber die Umkehrung gilt nicht

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Ich glaube ich hab’s, notwendig aber nicht hinreichend wäre an der Stelle x_0 muss die Funktion stetig sein ?

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Hallo

das f differenzierbar und damit stetig ist ist doch gegeben! Ich hatte doch eine hinreichende Bedingung schon gesagt, Und mit stückweise definieren hat das wirklich nichts zu tun! auch Beispiele hatte ich dir gesagt, also nur noch das notwendig überlegen, denn x^5 etwa in (-1,+1) erfüllt die hinreichende Bedingung  nicht,

Gruß lul

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Aber warum ist f(I) ≤0 oder ≥0 hinreichend ?

Ich habe mir f(x)=x² -4 mal skizziert und festgestellt für f(x)=0 ist sie nicht diffbar also für x=2 oder x=-2.

Notwendig wäre doch das es dann echt < oder >

Tut mir leid ich stehe auf dem Schlauch und brauche diese Aufgabe für die Hausaufgaben:/

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Hallo

ein f was in I immer positiv ist wird durd den Betrag nicht geändert, ein f das immer negativ ist wir durch den Betrag zu -f, bleibt also differenzierbar, x^2-4 ist zwischen -3 und +3 NICHT überall >0 oder < 0 erfüllt die Bedingung also nich f=x^2 gefüllt sie x^2.4 erfüllt sie für x>2 und für x<-2

bei hinreichend gilt auch < oder <=

nein was ist an x^3 oder x^5 bei 0 so anders, als bei x , so dass der Betrag keinen "Knick" hat, an der Nullstelle also differenzierbar bleibt?

Gruß  und gute Nacht! lul

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Danke für deine Mühe, aber verstehe es nicht.

Bei x³ oder x⁵ ist anders das für x³=0 für x=0 erfüllt ist und für |x² -4| =0 für x=-2 und x=2.

Der Knick kommt nicht zustande da nur für x=0 f(x)=0 gilt, an der Stelle f(0)=0 hat der Graph einen Wendepunkt.

Notwendig wäre doch dann, dass dies für f(x)=0 gilt wenn x=0 also für unsere Beispiel x³ und x⁵ .

Wie kann ich das allgemein aufschreiben?

Gute Nacht, danke nochmals.

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Hallo ein Wendepunkt reicht nicht, aber eine waagerechte Tangente an der Nullstelle, jetzt hab ich wirklich alles gesagt.

Gruß lul

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Hey also ich habe jetzt als notwendige Bedingung das f‘(x)=0 sein muss damit ich an der Nullstelle eine waagerechte tangte haben, dh mit Steigung 0.

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Hallo

f'(x)=0 heisst f(x)=const , das kannst du nicht meinen,

Versuch mal genau Bedingungen für f(x) hinzuschreiben, dann überlege, welche hinreichend sind, welche notwendig.

Aber benutze mehr als einen Satz und begründe jeden!

Gruß lul

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Keine Ahnung irgendwie ist mir das doch zu schwer, muss die Aufgabe gleich abgeben.

Ja es darf keine knickstelle geben

Hinreichend wäre f(x)≤0 oder ≥0

Notwendig an der nullstelle eine waagerechte tangente mit Steigung 0 damit die knickstellen nicht zustanden kommen. Da für knickstellen die GW nicht übereinstimmen und nicht existieren.

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Hallo

vermeide etwa doppelt zu sagen , wie waagerechte Tangente mit Steigung 0

welche Steigung ausser 0 soll denn eine waagerechte Tangente haben?

du willst sagen:  Funktionen die an allen Stellen f(x)=0  auch f'(x) =0 haben erfüllen die Bedingung,

und für einen Übungszettel gehört eine Begründung dazu, die ich ja teilweise geschrieben habe

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Für die Bedingung f(x)=0 und f‘(x)=0 ist a doch dann nicht diffbar?

Ich verstehe diese Begründungen nicht, für klare Beispiele verstehe ich es aber allgemein zu fassen verstehe ich es nicht.

Also f(x)=≤0 oder ≥0 ist es hinreichen mit x∈[a,b]

Notwendig wäre doch,dass die Funktion an stellen keine Knickstelle haben darf sprich unterschiedliche GW ?