Stück für Stück lesen und jede Information formal hinschreiben
Der Graph einer Funktion 3. Grades
$$f(x)=a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0$$
... geht durch den Koordinatenursprung
$$f(0)=0$$
Der Wendepunkt hat die Koordinaten WP(2|5) ...
$$f\prime \prime (2)=0 \quad f(2) = 5$$
... und die Wendetangente hat die Steigung m=0,5.
$$f'(2)=0,5$$
so das war's. Oben steht eine Funktion \(f(x)\) mit 4 unbekannten Größen \(a_1\) bis \(a_4\) und dadrunter stehen vier Bedingungen. Für jede einzelne der Bedingungen setzt man den X- und den Y-Wert (Funktionswert) in die entsprechende allgemeine Funktionsgleichung ein. Die drei Funktionsgleichungen sind: $$f(x)=a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0$$ $$f\prime(x)=3a_3x^2 + 2a_1x + a_2$$ $$f\prime \prime (x)=6a_3x + 2a_2$$
nach Einsetzen erhält man:
$$0=a_3\cdot0^3 + a_2\cdot0^2 + a_1\cdot 0 + a_0 \quad f(0)=0$$
$$0=6a_3\cdot2 + 2a_2 \quad \quad \quad \quad \quad f\prime \prime (2)=0$$
$$5=a_3\cdot2^3 + a_2\cdot2^2 + a_1\cdot 2 + a_0 \quad f(2)=5 $$
$$\frac{1}{2}=3a_3\cdot2^2 + 2a_2\cdot2 + a_2 \quad f\prime(2)=\frac{1}{2}$$
Das ist ein Lineares Gleichungssystem mit vier Unbekannten.
Zur Kontrolle: $$f(x)=\frac{-1}{4}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + \frac{1}{2}x $$ Gruß Werner
