Aufgabe:
a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des Systems \( \vec{y}^{\prime}=-A \vec{y} \) zweier gekoppelter Differentialgleichungen mit
\( \vec{y}=\left(\begin{array}{l} y_{1} \\ y_{2} \end{array}\right), \vec{y}^{\prime}=\left(\begin{array}{l} y_{1}^{\prime} \\ y_{2}^{\prime} \end{array}\right), A=\left(\begin{array}{rr} 2 & -3 \\ -1 & 0 \end{array}\right) \)
wobei für die gegebene Matrix \( A \) (siehe Aufgaben \( 7.4 \) und 8.1) die normierten Eigenvektoren \( \vec{v}_{1}=\frac{1}{\sqrt{10}}\left(\begin{array}{c}3 \\ -1\end{array}\right) \) und \( \vec{v}_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right) \) zu den jeweiligen Eigenwerten \( \lambda_{1}=3 \) und \( \lambda_{2}=-1 \) und die Matrizen
\( B=\left(\begin{array}{rr} 3 / \sqrt{10} & 1 / \sqrt{2} \\ -1 / \sqrt{10} & 1 / \sqrt{2} \end{array}\right), \quad B^{-1}=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{rr} \sqrt{10} & -\sqrt{10} \\ \sqrt{2} & 3 \sqrt{2} \end{array}\right) \)
bekannt sind, so dass \( B^{-1} A B \) die Matrix \( A \) diagonalisiert.
b) Lösen Sie die Differentialgleichung
\( y_{2}^{\prime \prime}+2 y_{2}^{\prime}-3 y_{2}=0 \)
zweiter Ordnung unter den Anfangsbedingungen \( y_{2}(0)=0 \) und \( y_{2}^{\prime}(0)=1 \), indem Sie sie auf das Differentialgleichungssystem aus Teilaufgabe a) zurückführen.
Problem/Ansatz:
Hallo, kann mir jemand bei der a) und b) helfen? Vor allem bei der a) weiß ich nicht so wirklich was ich machen soll. Bin mir auch unsicher, inwiefern die beiden Matrizen B und B^(-1) relevant sind. Bin euch sehr dankbar, wenn ihr mir helfen könntet.
