Eine Funktion f ist in einem Intervall I = [a; b] integrierbar, wenn die Grenzwerte von Ober- und Untersumme existieren und übereinstimmen, also das bestimmte Integral existiert. Dies ist dann der Fall, wenn f stetig oder monoton (oder beides!) ist.
somit folgt Jede stetige Funktion ist integrierbar, die Umkehrung gilt dagegen nicht: es gibt auf einem Intervall integrierbare Funktionen, die dort nicht (überall) stetig sind! Beispielsweise ist die Signum-Funktion, die jeder Zahl ihr Vorzeichen zuordnet, an der Stelle x = 0 unstetig, aber trotzdem intergrierbar und es ist ∫sgn xdx=|x| (also die Betragsfunktion).
