S•A•T = Einheitsmatrix des Ranges

Question

Aufgabe:

A= Matrix

1 1 1 \\

1 0 0 \\

0 1 1

∈{F}_{2}^3x3

Geben Sie Matrizen \( S, T \in \mathrm{GL}_{3}\left(\mathbb{F}_{2}\right) \) an, so dass

S • A • T = Matrix

1_r  0

0 0

wobei \( r=\operatorname{Rang}(A), \mathbf{1}_{r} \in \mathbb{F}_{2}^{r \times r} \) die Einheitsmatrix und die \( \mathbf{0} \) 's geeignete Nullmatrizen sind. Begründen Sie Ihre Angabe durch eine Rechnung.

Problem/Ansatz:

Ich komme bei dieser Aufgabe absolut nicht weiter. Seit 4 Tagen quäle ich mich damit. Es handelt sich um eine Hybridaufgabe. Den Rang r sollte ich online bestimmen. Der beträgt 2. Nun scheitere ich an S und T. Über Ansätze, Verständnis wäre ich sehr dankbar.

Answer 1

Eine Rechenhilfe

https://www.geogebra.org/m/be3jqqzs

Du machst elementare Zeilen/Spalten umforungen

etwa (alles weg, was nicht in der Diagonalen steht)

\(\small \left(\begin{array}{rrr}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\-1&0&1\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{rrr}1&-1&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right)\;  A \;  \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&-1\\0&0&1\\\end{array}\right)  \)