Kongurenz Modulo bestimmen

Question

Hallo, ich habe eine Frage zur Kongurenz.

Bestimmten sie die dem Betrag nach kleinste ganze Zahl die kongurent modulo 7 für folgende Zahlen:

659, 257, -290, -368

Ich habe den Modulo von allen Zahlen wie folgt bestimmt:

659 mod 7 = (94*7) + 1

257 mod 7 = (36*7) + 5

-290 mod 7 = ((-27)*7)-3 ⇒ |-3| = 3

-368 mod 7 = ((-52)*7)-4  ⇒ |-4| = 4

Jetzt zum Thema Kongurent, kongurent sind ja nur Zahlen, die bei gleichen Modulo, den gleichen Rest haben. Ist hier dann keine Zahl kongurent? Oder habe ich das falsch verstanden?

Bitte schreibt wenn was nicht verständlich ist, da es mein erster Beitrag ist.

Lg

Comments

Es geht um die betragskleinsten Reste, also um die Reste
-3,-2,-1,0,1,2,3, die hier bestimmt werden sollen , die
jeweils kongruent den vorgegebenen Zahlen sind,
also im Falle 257 wäre das -2 und nicht 5.

Es geht nicht darum, die Beträge der Reste zu bestimmen,
die in {0,1,2,3,4,5,6} liegen. Das ist zwar auch ein vollständiges
Restesystem, aber nicht das betragsmäßig kleinste.

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Ahh, danke, das heißt ich kann das auch so rechnen:

659 mod 7 = (94*7) + 1

257 mod 7 = (37*7) - 2

-290 mod 7 = ((-27)*7)-3 ⇒ |-3| = 3

-368 mod 7 = ((-53)*7)+3

Dann wäre -290 kongurent -368 modulo 7 die Antwort, also

-290≡-368 mod 7

Passt das jetzt so?

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\(-290 \equiv ((-27)*7)-3\equiv -3\) mod \(7\).

\(-368 \equiv ((-52)*7)-4\equiv -4\equiv 3\) mod \(7\).

Warum du die Kongruenz zwischen -290 und -368 untersuchst,
ist mir nicht klar und zudem falsch.

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Kongurent heißt ja, da ich die Zahlen finde, die den gleichen Restwert bei Modulo 7 haben oder?

Jetzt hast du ja oben gemeint, das der Restwert von 257 mod 7 nicht 5 sondern minus 2 ist. Dann habe ich das für die anderen Zahlen halt auch angewendet.

In der Angabe steht ja das ich die kleinste ganze Zahl finden muss, die kongurent dem Modulo 7 für die Zahlen 659, 257, -290, -368 finden muss.

Was muss ich da dann genau machen?

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Bei den beiden ersten Zahlen hast du das ja richig gemacht: 1 und -2.
Bei den beiden negativen Zahlen hast du es ja auch richtig gemacht,
dann aber nicht den vom Betrage her kleinsten Rest genommen.
Bei den beiden letzten Zahlen sind das -3 und 3.

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Ist hier dann keine Zahl kongurent?

Diese Frage ist nicht sauber formuliert, sie müsste heißen:

Hier gibt es dann kein Paar kongruenter Zahlen?

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@ermanus Ja, dann habe ich das falsch hingeschrieben, oben steht es so:

-290 mod 7 = ((-27)*7)-3 ⇒ |-3| = 3

-368 mod 7 = ((-53)*7)+3

Muss ich das dann so hinschreiben

-290 mod 7 = ((-27)*7)-3

-368 mod 7 = ((-53)*7)+3

Aber sind jetzt dann diese beiden Zahlen kongurent, weil der Betrag ist bei beiden 3. Oder verstehe ich da noch immer was falsch?

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Nein; denn die Reste sind ja -3 und 3. Und diese beiden Reste
sind ja nicht kongruent zu einander, da ihre Differenz nicht durch 7 teilbar ist.
Es geht nicht um die Beträge der Reste, sondern um die Reste selbst.
Häufig nimmt man die Reste aus dem nichtnegativen Restesystem
{0,1,2,3,4,5,6} oder aus dem betragskleinsten {-3,-2,-1,0,1,2,3}.

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Das heißt die Differenz von zwei Resten muss durch 7 teilabr sein. Also dann habe ich den Begriff der Kongurenz zuerst falsch verstanden.

Aber da gibt es ja in meinem Fall keine oder habe ich jetzt was übersehen, weil ich es jetzt versucht habe.

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Ja. Da die Reste (aus dem gewählten Restesystem) paarweise
verschieden sind, sind die Zahlen selbst paarweise inkongruent.

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Ok, und in meinem Fall ist die kleinste ganze Zahl gesucht die Kongurent 7 ist. In dem Zusammenhang heißt das jetzt, das ist -3? Wobei Betrag, dann wäre es 1. Aber wie ist das hier jetzt überhaupt gemeint? Wenn ja kein Zahlenpaar kongurent ist, aber die Kongurenz gesucht ist?

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Die Reste sind ja kongruent zu den Zahlen, von denen sie bestimmt wurden.
Aber die Zahlen sind nicht unter einander kongruent; denn sonst
wären ja ihre Reste gleich. Zur Sprechweise: siehe den Kommentar
von Roland.

Der erste Teil der Aufgabe lautet, dass man die Reste der
angegebenen Zahlen bestimmen soll und zwar aus dem
betragskleinsten Restesystem.

Nachdem man das gemacht hat, soll man bei den Zahlen
schauen, ob es hier Paare kongruenter Zahlen gibt.

Wenn zwei Zahlen kongruent sind, besitzen sie bzgl. eines vorgegebenen
Restesystems die gleichen Reste.
Da hier alle Reste verschiden sind, gibt es kein Paar kongruenter Zahlen.

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Ok, du erlaubst mir noch kurz zusammenzufassen, ob ich auch alles verstanden habe?

Also wenn ich die dem Betrag nach kleinste Zahl suche die Kongurent zu einem Modulo x ist, so gilt, das ich auf das Betragskleinste Restesystem {-3,-2,-1,0,1,2,3} zurückgreife außer es ist das nichtnegative gefordert.

Dann die Kongurenz zwischen zwei Zahlen wäre wenn die Differenz der beiden Reste durch den gegeben Modulo teilbar wäre.

Und bei meinen Beispiel war eigentlich nur der Restwert im betragskleinsten Restesystem gefragt, da ja jeder hier errechnete restwert ongureänt zum Modulo 7 ist. Und meine Lösung auf dem Blatt ist daher:

659 mod 7 = (94*7) + 1

257 mod 7 = (37*7) - 2

-290 mod 7 = ((-27)*7)-3

-368 mod 7 = ((-53)*7)+3

Jetzt ist nur noch meine Frage ist Betrag nicht nichtnegativ?

Aber habe ich den rest oben nun verstanden und kann ich meine Antwort so stehen lassen oder muss ich wegen dem Betrag noch was ändern?

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In dem verwendeten Restsystem ist bis auf 0 die
Hälfte der Reste negativ. Daher haben diese Reste den
kleinstmöglichen Betrag.

Mit dem Betrag darfst du nichts machen !

Diu solltest es aber nicht so stehen lassen, sondern z.B.

\(659=(94*7)+1\equiv 1\) mod \(7\), usw. schreiben.

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Also auch -3 und -2 kann ich so stehen lassen? Wenn ja, dann sag ich danke für die ausführliche Erklärung und vor allem danke für deine Geduld!

Edit: hab oben gesehen das du da noch was ersetzt hast und werd das so schreiben.

659 = (94*7) + 1 ≡ 1mod7

257  = (37*7) - 2 ≡ -2mod7

-290 = ((-27)*7)-3 ≡ -3mod7

-368  = ((-53)*7)+3 ≡ 3mod7

Nochwas, vielleicht postest du es noch als Antwort hin, weil dann kann ich noch deine Antwort auswählen, falls wer anders auch mal bei einem ähnlcihen Problem sitzen sollte.

Lg und danke nochmals!

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Bei der -290 hast du dich verrechnet. In meiner Antwort ist
es repariert.

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Habe in meiner Antwort meine Vorgehensweise
bei solchen Aufgaben angefügt. Ich denke, dass das
für die "Zukunft" viel Rechenarbeit spart und dafür sorgt,
dass dein Taschenrechner geschont wird.

Answer 1

Da die Reste dem betragskleinsten Restesystem entnommen
werden sollen - {-3,-2,-1,0,1,2,3} - erhalten wir

659 = (94*7) + 1 ≡ 1 mod 7

257  = (37*7) - 2 ≡ -2 mod 7

-290 = ((-41)*7)-3 ≡ -3 mod 7

-368  = ((-53)*7)+3 ≡ 3 mod 7

Da diese Reste paarweise verschieden sind,
sind die vier Zahlen paarweise inkongruent.

Die Reste würde ich so (oder so ähnlich ) berechnen:

"Vielfache von \(7\) zählen nicht"

\(659=630+29\equiv 29=28+1\equiv 1\) mod \(7\).

\(257=210+47\equiv 47=49-2\equiv -2\) mod \(7\).

\(-290=-280-10\equiv -10=-7-3\equiv -3\) mod \(7\).

\(-368=-350-18\equiv -18=-21+3\equiv 3\) mod \(7\).