Pellsche Gleichung dann in Z lösbar, wenn p kongruent 2 oder 1 modulo 4 ist

Question

Aufgabe:

Zeige, dass die Pellsche Gleichung \( x^2-py^2=-1 \) genau dann in den ganzen Zahlen lösbar ist, wenn die Primzahl p kongruent 2 oder 1 modulo 4 ist.

Answer 1

Hallo,

betrachete die Pellsche Gleichung Modulo 4:$$x^2 - py^2 \equiv -1 \mod4$$Wenn eine Lösung existiert, so muss auch die obige Gleichung erfüllt sein. Eine Qudratzahl \(a^2\) mit \(a \in \mathbb Z\) kann aber Modulo 4 nur die Werte \(0\) oder \(1\) annehmen. Ist $$x^2 \equiv 0 \mod 4 \implies y^2 \equiv p \equiv 1\mod 4$$Im zweiten möglichen Fall gibt es nur eine weitere Kombination$$x^2 \equiv 1 \mod 4 \\ \implies py^2 \equiv 2 \mod 4 \implies y^2 \equiv 1\land p \equiv 2 \mod 4$$In jedem anderen Fall \(p \not\equiv 1 \land p\not\equiv 2 \mod 4\) ist die Gleichung nicht zu erfüllen. Also gibt es auch dann keine Lösung \(x,\,y\in \mathbb Z\).

Bem.: \(p\) muss dazu keine Primzahl sein.

Gruß Werner