Pellsche Gleichung dann in Z lösbar, wenn p kongruent 2 oder 1 modulo 4 ist

Question 1

Aufgabe:

Zeige, dass die Pellsche Gleichung $ x^2-py^2=-1 $ genau dann in den ganzen Zahlen lösbar ist, wenn die Primzahl p kongruent 2 oder 1 modulo 4 ist.

Question 2

Hallo,

betrachete die Pellsche Gleichung Modulo 4:$$x^2 - py^2 \equiv -1 \mod4$$Wenn eine Lösung existiert, so muss auch die obige Gleichung erfüllt sein. Eine Qudratzahl $a^2$ mit $a \in \mathbb Z$ kann aber Modulo 4 nur die Werte $0$ oder $1$ annehmen. Ist $$x^2 \equiv 0 \mod 4 \implies y^2 \equiv p \equiv 1\mod 4$$Im zweiten möglichen Fall gibt es nur eine weitere Kombination$$x^2 \equiv 1 \mod 4 \\ \implies py^2 \equiv 2 \mod 4 \implies y^2 \equiv 1\land p \equiv 2 \mod 4$$In jedem anderen Fall $p \not\equiv 1 \land p\not\equiv 2 \mod 4$ ist die Gleichung nicht zu erfüllen. Also gibt es auch dann keine Lösung $x,\,y\in \mathbb Z$.

Bem.: $p$ muss dazu keine Primzahl sein.

Gruß Werner

Werner-Salomon · Answer 1 · 2022-02-01T17:51:43+0000

Hallo,

betrachete die Pellsche Gleichung Modulo 4:$$x^2 - py^2 \equiv -1 \mod4$$Wenn eine Lösung existiert, so muss auch die obige Gleichung erfüllt sein. Eine Qudratzahl $a^2$ mit $a \in \mathbb Z$ kann aber Modulo 4 nur die Werte $0$ oder $1$ annehmen. Ist $$x^2 \equiv 0 \mod 4 \implies y^2 \equiv p \equiv 1\mod 4$$Im zweiten möglichen Fall gibt es nur eine weitere Kombination$$x^2 \equiv 1 \mod 4 \\ \implies py^2 \equiv 2 \mod 4 \implies y^2 \equiv 1\land p \equiv 2 \mod 4$$In jedem anderen Fall $p \not\equiv 1 \land p\not\equiv 2 \mod 4$ ist die Gleichung nicht zu erfüllen. Also gibt es auch dann keine Lösung $x,\,y\in \mathbb Z$.

Bem.: $p$ muss dazu keine Primzahl sein.

Gruß Werner

Pellsche Gleichung dann in Z lösbar, wenn p kongruent 2 oder 1 modulo 4 ist

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