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Aufgabe:

(a) Sei \( p \in \mathbb{N} \) eine Primzahl. Wie viele dritte Potenzreste gibt es \( \bmod p \), d.h. für wie viele Restklassen \( b \in \mathbb{F}_{p} \) besitzt folgende Kongruenz eine Lösung?

\( x^{3} \equiv b \bmod p \)

(b) Finden Sie alle dritten Potenzreste \( \bmod 13 \).

(c) Ist die Kongruenz \( x^{3} \equiv 12 \bmod 13 \) lösbar? Finden Sie ggf. alle Lösungen in \( \mathbb{F}_{13} \).



Problem/Ansatz:

Bei der a habe ich nach p kongruent 1 mod 3 und p kongruent 2 mod 3 unterschieden. So ganz komme ich nicht weiter.

und bei b und c muss es einen Trick geben den ich nicht finde. Kann mir jemand helfen?

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b: 1,5,8,12

c: 4,10,12

Aber das ist mechanisch berechnet. Gibt es eine mathematische Begründung?

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