Wie zeigt man, dass für alle λ > 0 gilt inf(λA) = λ inf(A)?

Question

Aufgabe:

Seien A, B ⊆ R nichtleer und beschränkt. Zeigen Sie:
(a) Für alle λ > 0 gilt inf(λA) = λ inf(A).

Problem/Ansatz:

Ich habe hier fünf Teilaufgaben, die alle ähnlich sind wie die oben. Leider weiß ich gar nicht, was hier gefragt ist. Ich denke, wenn ich bei einer Teilaufgabe mal sehe, was man machen soll, bekomme ich es für die anderen selbst hin. Weiß jemand, was zu tun ist? :)

Answer 1

Für alle λ > 0 gilt inf(λA) = λ inf(A).

Bedenke λA = { λa | a∈A } .

Also ist zu zeigen:

   λ inf(A) ist die größte untere Schranke für λA.

1. untere Schranke. Wegen λA = { λa | a∈A }

    muss man also prüfen:

          Für alle x∈ λA gilt    λ inf(A) ≤ x.

       Wegen x∈ λA gibt es ein a∈A mit x=λa.

        λ inf(A) ≤ x <=>   λ inf(A) ≤  λa

 Und wegen  λ>0 ist das äquivalent zu inf(A) ≤ a.

Da inf(A) eine untere Schranke für A ist, ist das erfüllt.

Bleibt zu zeigen, dass es keine größere untere Schranke

für λA gibt.

Sei also ε>0 und angenommen   λinf(A) + ε ist auch eine

untere Schranke für   λA, also würde für alle x∈ λA gelten

                λinf(A) + ε ≤ x

also für alle a∈A     λinf(A) + ε ≤ λa

wegen λ>0 kann man durch λ dividieren und hat für alle a∈A

                              inf(A) + ε/ λ  ≤ a

Also wäre   inf(A) + ε/ λ eine untere Schranke für A, die

größer als inf(A) ist. Widerspruch !