Zeigen Sie: Ist inf X> 0 , dann gilt...

Question

Aufgabe:

Für eine Menge X⊂ℝ -{0} setzen wir X^-1:= {\( \frac{1}{x} \)|x∈X }.

Zeigen Sie: Ist inf >X dann gilt: sup X^-1=\( \frac{1}{inf X} \)

Hey,

ich habe enorme Mühe bei einer Übungsaufgabe aus meinem Studiengang. Ich wäre um jegliche Hilfe sehr dankbar.

Comments

Hallo

Du musst mindesten die Aufgabe richtig aufschreiben

inf>X ist ziemlich unsinnig?

Dann schreib mal auf wie inf(x) uns sup(1/X) definiert sind und versuch den Beweis damit. stell dir dazu die Menge X  z.B. als das Intervall (1,17) oder ähnlich vor, oder mehrere solche Intervalle. Oft hilft es dem Nachdenken, dass man sich konkrete Mengen vorstellt und erst dann den allgemeinen Beweis macht und überlegt ob er für die Beispiele richtig ist.

Gruß lul

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statt   Ist inf >X soll es wohl   Ist inf X > 0   ???

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Sorry soll inf X > 0 heißen

Answer 1

Ist inf X > 0  dann gilt: sup X-1=\( \frac{1}{inf X} \)

inf X ist eine untere Schranke für X, also gilt für alle x∈X    inf X  ≤ x.

Wegen inf X > 0 gilt also für alle x∈X   0  ≤ x und damit auch immer 1/x > 0.

                    Damit folgt aus   inf X ≤ x   | * 1/x

                                               1/x *   inf X ≤  1    | * 1/(inf X)

                                                    1/x    ≤  1 /  ( inf X )

Also ist 1 /  ( inf X ) eine obere Schranke für X^{-1} .

Sei y auch eine  obere Schranke für X^{-1} , also    1/x   ≤  y  | * x

                                    ==>    1   ≤  y  * x

                                     ==>    1 / y   ≤  x

Damit wäre 1/y eine untere Schranke für X und somit

                                1/y ≤  inf X weil inf X die größte unt. Schranke ist.

     ==>              1 ≤ y * inf X

    ==>              1/ ( inf X) ≤ y

Also ist   1/ ( inf X) die kleinste obere Schranke für X^{-1}

und damit das Supremum von X^{-1} .