Rechenregeln für Ereignisse in der Statistik

Question

Ich habe folgendes Problem:

P (B) soll berechnet werden in a) und b).

Die gegebenen Werte sind jeweils:

a) P (A) =0,25

P (A U B) = 0,75

P (A | B) = 0,25


b) P (A) = 0,25

P (A U B) = 0,75

P (A | B) = 0


Wie errechne ich nun P (B)? Ich habe mich bereits an dem Satz von Bayes versucht, jedoch komme ich damit zu keinem Ergebnis. Vielleicht übersehe ich auch nur eine Umformung, die das ganze leicht zu berechnen macht.

 

Answer 1

Es gilt:

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$$$\Leftrightarrow P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)$$

Außerdem gilt für die bedingte Wahrscheinlichkeit P ( A | B ) :

$$P(A|B)=\frac { P(A\cap B) }{ P(B) }$$$$\Leftrightarrow P(B)=\frac { P(A\cap B) }{ P(A|B) }$$

Setzt man für P ( A ∩ B ) den Term aus der 3 . Zeile ein, erhält man:


$$\Leftrightarrow P(B)=\frac { P(A)+P(B)-P(A\cup B) }{ P(A|B) } =\frac { P(B) }{ P(A|B) } +\frac { P(A)-P(A\cup B) }{ P(A|B) }$$

Auflösen nach P ( B ):

$$\Leftrightarrow P(B)-\frac { P(B) }{ P(A|B) } =\frac { P(A)-P(A\cup B) }{ P(A|B) }$$$$\Leftrightarrow P(B)P(A|B)-P(B)=P(A)-P(A\cup B)$$$$\Leftrightarrow P(B)(P(A|B)-1)=P(A)-P(A\cup B)$$$$\Leftrightarrow P(B)=\frac { P(A)-P(A\cup B) }{ P(A|B)-1 }$$

Der Term auf der rechten Seite enthält nun nur noch Terme, deren Werte gegeben sind, also einsetzen:

a)

$$P(B)=\frac { 0,25-0,75 }{ 0,25-1 } =\frac { -0,5 }{ -0,75 } =\frac { 2 }{ 3 }$$

b) Ebenso.