Ereignisse in der Statistik: P (A ∩ B ∩ C) berechnen

Question

Für drei zufällige Ereignisse A, B und C aus demselben Wahrscheinlichkeitsraum gilt:

P(A) = 1/10

P(B) = 2/5

P(C) = 1/2

P(B ∩ C) = 1/5

P(B | A) = 2/5

P(A | C) = 1/10

P(A U B U C) = 18/25


Man berechne P(A ∩ B ∩ C).

Comments

Die Siebformel ist bekannt?

Answer 1

Es gilt (Siebformel von Poincaré):

$$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C)$$Löst man diese nach \(P(A\cap B\cap C)\) auf erhält man:$$\Leftrightarrow P(A\cap B\cap C)=P(A\cup B\cup C)-P(A)-P(B)-P(C)+P(A\cap B)+P(A\cap C)+P(B\cap C)$$

Hierin sind alle Wahrscheinlichkeiten gegeben bis auf \(P(A\cap B)\) und \(P(A\cap C)\)

Dafür aber sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten \(P(B|A)\) und \(P(A|C)\) gegeben, aus denen man mit Hilfe der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit \(P(A\cap B)\) und \(P(A\cap C)\) berechnen kann. Es gilt (Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit):

$$P(X|Y)=\frac { P(X\cap Y) }{ P(Y) }$$$$\Leftrightarrow P(X\cap Y)=P(X|Y)*P(Y)$$

Also erhält man:

$$P(A\cap B)=P(B\cap A)=P(B|A)*P(A)$$$$P(A\cap C)=P(A|C)*P(C)$$

Setzt man dies in die Siebformel ein, erhält man:

$$P(A\cap B\cap C)=P(A\cup B\cup C)-P(A)-P(B)-P(C)+P(B|A)*P(A)+P(A|C)*P(C)+P(B\cap C)$$

Alle auf der rechten Seite auftretenden Wahrscheinlichkeiten sind gegeben, also braucht man nur noch einzusetzen und auszurechnen. Das brauche ich wohl nicht vorzuführen, oder?

Comments

Kannst du den letzten Schritt erläutern , wie setzt man das ein?

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Ersetze die Ausdrücke auf der rechten Seite der Gleichung durch die in der Aufgabenstellung dafür jeweils angegebenen Werte:

P(A ∩ B ∩ C) = \( \frac{18}{25} \) - \( \frac{1}{10} \) - \( \frac{2}{5} \) - \( \frac{1}{2} \) + \( \frac{2}{5} \) * \( \frac{1}{10} \) + \( \frac{1}{10} \) * \( \frac{1}{2} \) + \( \frac{1}{5} \)

Erst einmal die beiden Multiplikationen auf der rechten Seite ausführen:

= \( \frac{18}{25} \) - \( \frac{1}{10} \) - \( \frac{2}{5} \) - \( \frac{1}{2} \) + \( \frac{2}{50} \)  + \( \frac{1}{20} \) + \( \frac{1}{5} \)

Nun die Brüche durch Erweitern gleichnamig machen (Hauptnenner ist 100):

= \( \frac{72}{100} \) - \( \frac{10}{100} \) - \( \frac{40}{100} \) - \( \frac{50}{100} \) + \( \frac{4}{100} \)  + \( \frac{5}{100} \) + \( \frac{20}{100} \)

Und jetzt alles zusammenfassen:

= \( \frac{1}{100} \)

Fertig!

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Statt

P(A∩B)=P(B∩A)=P(B|A)∗P(A)

zu rechen kann ich für P(A∩B) ja auch einfach P(A∩B) = P(A)*P(B) machen