Beweisen sie Sinh > 0 für alle x > 0

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie Sinh x > 0 für alle x > 0

Problem/Ansatz:

Guten Abend kann mir jemand helfen und mir sagen, wie ich das am besten beweise?

Danke im voraus

Answer 1

Aloha :)

Mit Hilfe der dritten binomischen Formel finden wir:$$e^x-e^{-x}=e^{-x}\cdot\left(e^{2x}-1\right)=e^{-x}\cdot(e^x+1)\cdot(e^x-1)$$Für \(x>0\) ist \(e^{-x}=\frac{1}{e^x}>0\) und \(e^x>1\). Daher sind alle 3 Faktoren positiv und es gilt:$$\sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}>0\quad\text{für }x>0$$