Sei \( \varphi \in \mathbf{R}^{+} \)und \( 0=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{n}=\varphi \).
a) Zeigen Sie \( \left|e^{i s}-e^{i t}\right|=2 \sin \frac{s-t}{2} \) für \( s, t \in \mathbf{R}, 0 \leq s-t \leq 2 \pi \).
b) Zeigen Sie \( \sin t<t \) für \( t \in \mathbf{R}^{+} \).
c) Setze \( L:=\sum \limits_{k=0}^{n-1}\left|e^{i t_{k+1}}-e^{i t_{k}}\right| \) und \( \varepsilon:=\max _{k}\left(t_{k+1}-t_{k}\right) \). Beweisen Sie für \( \varepsilon \leq 4 \)
\( \varphi-\frac{\varepsilon^{2}}{24} \varphi \leq L<\varphi \)
Die Werte \( \left|e^{i t_{k+1}}-e^{i t_{k}}\right| \) geben den Abstand zweier Punkte auf dem Einheitskreis an. Somit ist \( L \) die Länge eines Streckenzugs im Kreis. Der Grenzwert von \( L \) für \( \varepsilon \searrow 0 \) läßt sich also als Länge des Kreissegments von 1 bis \( e^{i \varphi} \) interpretieren, der Winkel zwischen diesen Punkten am Scheitelpunkt \( 0 . \)
Weiß jemand, wie ich die Aufgaben löse? Oder hat jemand ein paar Ansätze? Danke in voraus.
