Wert eines bestimmten Integrals

Question

Aufgabe:

welchen Wert hat die Integrale: \( \int \limits_{1}^{5}\left(3 x^{2}+8 x\right) d x \)

Answer 1

Aloha :)

Du weißt bestimmt, dass die Integration die Umkehrung der Ableitung ist. Ableiten und Integrieren hängen also sehr eng zusammen.

Wenn du \(x^n\) ableitest, multiplizierst du zuerst mit dem Exponenten und verminderst ihn dann um eins:$$x^n\to n\cdot x^{n-1}\quad\text{beim Ableiten}$$Wenn du \(x^n\) integrierst, musst du diese Aktionen umkehren, also zuerst den Exponenten um eins erhöhen und dann durch den (neuen) Exponenten dividieren:$$x^n\to\frac{x^{n+1}}{n+1}\quad\text{beim Integrieren}$$

Im konkreten Fall sieht das so aus:

$$\int\limits_1^5\left(3x^2+8x\right)dx=\left[3\cdot\frac{x^3}{3}+8\cdot\frac{x^2}{2}\right]_1^5=\left[x^3+4x^2\right]_1^5$$Jetzt musst du noch die Regel "obere Grenze minus untere Grenze" berücksichtigen:$$=\underbrace{\left(5^3+4\cdot5^2\right)}_{\text{obere Grenze eingesetzt}}-\underbrace{\left(1^3+4\cdot1^2\right)}_{\text{untere Grenze eingesetzt}}=225-5=220$$

Answer 2

Welchen Wert hat dieses Integral: \( \int \limits_{1}^{5}\left(3 x^{2}+8 x\right) d x \) ?

Da brauchst du erst mal eine Stammfunktion zu der, die im Integral steht.

Das muss eine sein, deren Ableitung \( 3 x^{2}+8 x\) ergibt.

Das wäre z.B   \( x^3 + 4 x^{2} \) . Dann schreibst du :

\( \int \limits_{1}^{5}\left(3 x^{2}+8 x\right) d x = [x^3 + 4 x^{2}]_1^5\)

Dann setzt du die obere Integralgrenze in diese Stammfunktion ein

und dann die untere und subtrahierst, also geht es weiter so:

\(  [x^3 + 4 x^{2}]_1^5   =  (5^3 + 4\cdot 5^{2} )- (1^3 + 4\cdot 1^{2})= 225-5=220\)

Also ist 220 der Wert des Integrals.