Aufgabe:
Wir betrachten die \( \mathbb{R} \)-Vektorräume \( V=\left\{A \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \mid A=A^{\top}\right\} \) und den Quotientenraum \( W=\mathbb{R}^{4} / \operatorname{lin}\left(\left\{e_{4}\right\}\right) \). Es ist \( B=\left(B_{1}, B_{2}, B_{3}\right) \) eine Basis von \( V \) und \( B^{\prime}=\left(\bar{b}_{1}, \bar{b}_{2}, \bar{b}_{3}\right) \) eine Basis von \( W \), wobei
\( b_{1}=\left(\begin{array}{llll} 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right)^{\top}, \quad b_{2}=\left(\begin{array}{llll} 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right)^{\top}, \quad b_{3}=\left(\begin{array}{llll} 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right)^{\top} \in \mathbb{R}^{4} . \)
Es sei \( f_{q} \in L(V ; W) \) für \( q \in \mathbb{R} \) gegeben durch die darstellende Matrix \( A_{q} \) von \( f_{q} \) bezuglich der Basen \( B \) und \( B^{\prime} \) :
\( A_{q}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & q & 2 q \\ 1 & 1 & 1+q \end{array}\right), \)
i) Bestimmen \( \operatorname{Sie} \operatorname{rg}\left(f_{q}\right) \) in Abhängigkeit von \( q \in \mathbb{R} \).
ii) Bestimmen Sie \( f_{q}\left(-B_{1}+2 B_{2}+B_{3}\right) \).
iii) Sei nun \( q=1 \). Bestimmen Sie Bild \( \left(f_{1}\right) \).
Problem/Ansatz:
weiss leider nicht wie ich damit anfangen kann
