Aufgabe zum Satz vom Maximum

Question

Aufgabe:

Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) stetig. Gelten \( f(x) \geq 0 \) für alle \( x \in \mathbb{R} \) und \( f(x) \rightarrow 0 \) für \( x \rightarrow-\infty \) und für \( x \rightarrow \infty \), so besitzt \( f \) ein Maximum.

Problem/Ansatz:

Hallo Leute, habe diese Seite kürzlich entdeckt und beschlossen diese Aufgabe an der ich schon seit längerem dran hänge hochzuladen. Ich hoffe das jemand diese Aufgabe lösen kann. Freue mich auf eine Antwort und natürlich ein großes dankeschön im Voraus.

Answer 1

Sei \(\varepsilon > 0\) so dass \(\exists x\in\mathbb{R}: f(x) > \varepsilon\).

Seien \(a= \sup \{x\in \mathbb{R} | \forall x' < x: f(x') < \varepsilon\}\) und \(b= \inf \{x\in \mathbb{R} | \forall x' > x:  f(x') < \varepsilon\}\).

Dann ist \(f|_{[a,b]}\) stetig, hat also nach dem Satz vom Maximum und Minimum ein Maximum.

Answer 2

Wenn \(f\) die Nullfunktion ist, ist die Aussage klar.

Es gebe nun ein \(a\in \mathbb{R}\) mit \(f(a)>0\).

Wegen \(\lim_{x\rightarrow \pm\infty} f(x)=0\), gibt es \(K>0\)

mit: \(x\notin [a-K,\;a+K]\Rightarrow f(x)< f(a)/2\).

Da \(f\) stetig ist, nimmt es auf dem Kompaktum \([a-K,\;a+K]\)

ein Maximum an. Man sieht leicht ein, dass dieses ein

globales Maximum von \(f\) ist.