Potenzfunktionen. f(x) = c*x^{a} geht durch A(1/8) und B(17/2312).

Question

Aufgabe zu Potenzfunktionen. Definitionsbereich, Wertebereich,... Asymptote:

f(x) = c*x^{a} geht durch A(1/8) und B(17/2312).

2.1 Nehmen Sie zu folgenden Eigcnschaften der Potenzfunktion f in der Abbildung Stellung:

-Definitionsbereich

- Wertebereich

- Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

-Symmetrie

- Monotonie

- Asymptoten

- Name des Graphen

2.2 Erläutern Sie den Begriff Asymptote an der Funktion f in der Abbildung.

2.3 Der Graph einer Funktion \( \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{c}^{xa} \) geht durch die Punkie \( \mathrm{A}(1 | \mathrm{8}) \) und \( \mathrm{B}(17|2312) \). Geben Sie die Funktionsgleichung dieser Funktion an.

Answer 1

2.1)

Man kann das leider nur schwer erkennen, also muss ich mehr oder weniger raten:

Definitionsbereich (das sind alle x-Werte, für die die Funktion einen y-Wert hat, also definiert ist):

D = R \ { 2 }

Bei x = 2 hat die Funktion eine Definitionslücke

Wertebereich:

W = R \ { -1/2 }

Die Funktion kann offenbar jeden beliebigen y-Wert annehmen bis auf den Wert y = - 1/2. Diesem nähert sie sich lediglich an, wobei man das auf dem Bild wirklich nur schlecht erkennen kann.

Schnittpunkt mit der x-Achse: S_x ( 3 | 0 )

Schnittpunkt mit der x-Achse: S_y ( 0 | -1 )

Der Graph ist punktsymmetrisch zum Punkt ( 2 | - 1/2 )

Er ist an jeder Stelle seines Definitionsbereiches streng monoton fallend.

Asymptoten:

y = - 1 / 2

x = 2

Name des Graphen: ?? Sorry, aber ich weiß nicht was damit gemeint ist.

2.2)

Als Asymptoten bezeichnet man Funktionen (in der Regel Geraden) denen sich ein Graph immer näher anschmiegt, ohne sie zu berühren. Im gezeigten Bild sind das, wie schon in Teil 2.1) gesagt, die Geraden

y = - 1 / 2

x = 2

2.3)

Setze die Koordinaten ( x , f ( x ) ) der gegebenen Punkte in die Funktionsgleichung ein. Du erhältst:

1) Für Punkt A ( 1 |  8 ) :

8 = c * 1 ^a

2) Für Punkt B ( 17 | 2312 ) :

2312 = c * 17 ^a

Aus der ersten Gleichung ergibt sich wegen 1 ^a = 1 für alle a:

8 = c * 1

<=> c = 8

Setzt man diesen Wert für c in die zweite Gleichung ein, erhält man:

2312 = 8 * 17 ^a

<=> 2312 / 8 = 289 = 17 ^a

Wenn man die ersten 20 Quadratzahlen auswendig gelernt hat, dann weiß man, dass 289 das Quadrat von 17 ist, dass also gilt: 289 = 17 ² und dass somit a = 2 ist. Wenn nicht, oder wenn das nicht so einfach zu sehen ist, dann muss man logarithmieren, um den Wert von a zu ermitteln:

<=> log ( 289 ) = log (17 ^a )

Es gilt: log ( x ^y ) = y * log ( x ) , also:

<=> log ( 289 ) = a * log ( 17 )

<=> a = log ( 289 ) / log ( 17 ) = 2

Somit lautet die gesuchte Funktionsgleichung:

f ( x ) = 8 * x ²