Können Sie eine (ähnliche) untere Schranke b

Question

In der Vorlesung haben wir gesehen, dass für eine natürliche Zahl \( n \geq 2 \) gilt
(1)
\( \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n} \leq \ln (n) \text {. } \)
Können Sie eine (ähnliche) untere Schranke bestimmen, also eine Abschätzung der Form
\( \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n} \geq ? \)

Comments

1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n
 = ln e^(1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n)
 = ln (e^(1/2) * e^(1/3) * e^(1/4) * ... * e^(1/n))
 ≥ ln ((1+1/2) * (1+1/3) * (1+1/4) * ... *(1+1/n))
 = ln (3/2 * 4/3 * 5/4 * ... * (n+1)/n )
 = ln ((n+1)/2)

Answer 1

Vielleicht könnte man das wie folgt machen:

∫ (2 bis n + 1) (1/x) dx = LN((n + 1)/2) ≤ 1/2 + 1/3 + ... + 1/n ≤ LN(n) = ∫ (1 bis n) (1/x) dx

Comments

LN((n + 1)/2) ≤ 1/2

Wie wäre es mit ein bisschen Erklärung ?

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Üblicherweise wird das so gezeigt :